Lesson 15 Green 函数法
今天讲 Green 函数.
Green 函数
点电荷的电荷密度分布写为 ρ(r⃗)=4πδ(0)\rho(\vec{r})=4\pi\delta(0)ρ(r
)=4πδ(0). 有了点电荷的电势之后，可以利用点电荷的电势来叠加出任意带电体的电势 —— 当然仅适用于无界空间.
如果我们研究的问题是有界的，那么就要使用更加一般的 Green 函数. 对于下面一个 Poisson 方程的定解问题：
∇2u(r⃗)=−1ε0ρ(r⃗)u∣Σ=f(Σ)\begin{aligned}
&\nabla^2u(\vec{r})=-\frac{1}{\varepsilon_0}\rho(\vec{r})\\
&u\big|_\Sigma=f(\Sigma)
\end{aligned}
∇2u(r
)=−ε01ρ(r
)u
Σ=f(Σ)
这里是第一类边界条件，而不是齐次边界条件. 我们考虑把 u(r⃗)u(\vec{r})u(r
) 用 f(Σ)f(\Sigma)f(Σ)、ρ(r⃗)\rho(\vec{r})ρ(r
) 和 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}')G(r
;r
′) 表示出来.
/Theorem/ (Green 第二公式)
∭V[u∇2v−v∇2u]d3r⃗=∬Σ[u∇v−v∇u]⋅dΣ⃗\iiint_V\left[u\nabla^2v-v\nabla^2u\right]\text{d}^3\vec{r}=\iint_\Sigma\left[u\nabla v-v\nabla u\right]\cdot\text{d}\vec{\Sigma}
∭V[u∇2v−v∇2u]d3r
=∬Σ[u∇v−v∇u]⋅dΣ
另外还有 Green 第一公式
∭Vu∇2vd3r⃗=∬Σu∇v⋅dΣ⃗−∭V∇u⋅∇vd3r⃗\iiint_Vu\nabla^2v\text{d}^3\vec{r}=\iint_\Sigma u\nabla v\cdot\text{d}\vec{\Sigma}-\iiint_V\nabla u\cdot\nabla v\text{d}^3\vec{r}
∭Vu∇2vd3r
=∬Σu∇v⋅dΣ
−∭V∇u⋅∇vd3r
这个公式正是分部积分在三维下的推广，不过并不常用.
把 Green 函数 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}')G(r
;r
′) 作为 vvv 代入 Green 第二公式，其中 Green 函数是下述问题的解：
∇2G(r⃗;r⃗′)=−1ε0δ(r⃗−r⃗′)\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}') = -\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(\vec{r}-\vec{r}')
∇2G(r
;r
′)=−ε01δ(r
−r
′)
代入得：
−1ε0[u(r⃗′)−∭VG(r⃗;r⃗′)ρ(r⃗)d3r⃗]=∬Σ[u(r⃗)∇G(r⃗;r⃗′)−G(r⃗;r⃗′)∇u(r⃗)]⋅dΣ⃗-\frac{1}{\varepsilon_0}\left[u(\vec{r}')-\iiint_V G(\vec{r};\vec{r}')\rho(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}\right]=\iint_\Sigma[u(\vec{r})\nabla G(\vec{r};\vec{r}')-G(\vec{r};\vec{r}')\nabla u(\vec{r})]\cdot\text{d}\vec{\Sigma}
−ε01[u(r
′)−∭VG(r
;r
′)ρ(r
)d3r
]=∬Σ[u(r
)∇G(r
;r
′)−G(r
;r
′)∇u(r
)]⋅dΣ
化简可以得到 u(r⃗′)u(\vec{r}')u(r
′)，如下
u(r⃗′)=∭VG(r⃗;r⃗′)ρ(r⃗)d3r⃗−ε0∬Σ[u(r⃗)∇G(r⃗;r⃗′)−G(r⃗;r⃗′)∇u(r⃗)]⋅dΣ⃗\begin{aligned}
u(\vec{r}')&=\iiint_VG(\vec{r};\vec{r}')\rho(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}-\varepsilon_0\iint_\Sigma[u(\vec{r})\nabla G(\vec{r};\vec{r}')-G(\vec{r};\vec{r}')\nabla u(\vec{r})]\cdot\text{d}\vec{\Sigma}
\end{aligned}
u(r
′)=∭VG(r
;r
′)ρ(r
)d3r
−ε0∬Σ[u(r
)∇G(r
;r
′)−G(r
;r
′)∇u(r
)]⋅dΣ
为了将积分做出来，我们需要指定 Green 函数的边界条件 (之前并未指定！). 取下述边界条件：
G(r⃗;r⃗′)∣Σ=0G(\vec{r};\vec{r}')\big|_{\Sigma}=0
G(r
;r
′)
Σ=0
最后得到
u(r⃗′)=∭VG(r⃗;r⃗′)ρ(r⃗)d3r⃗−ε0∬Σf(Σ)∇G(r⃗;r⃗′)∣Σ⋅dΣ⃗u(\vec{r}')=\iiint_VG(\vec{r};\vec{r}')\rho(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}-\varepsilon_0\iint_\Sigma f(\Sigma)\nabla G(\vec{r};\vec{r}')\big|_\Sigma\cdot\text{d}\vec{\Sigma}
u(r
′)=∭VG(r
;r
′)ρ(r
)d3r
−ε0∬Σf(Σ)∇G(r
;r
′)
Σ⋅dΣ
交换 r⃗,r⃗′\vec{r},\vec{r}'r
,r
′：
u(r⃗)=∭V′G(r⃗′;r⃗)ρ(r⃗′)d3r⃗′−ε0∬Σ′f(Σ′)∂G(r⃗′;r⃗)∂n′∣Σ′dΣ′u(\vec{r})=\iiint_{V'}G(\vec{r}';\vec{r})\rho(\vec{r}')\text{d}^3\vec{r}'-\varepsilon_0\iint_{\Sigma'}f(\Sigma')\left.\frac{\partial G(\vec{r}';\vec{r})}{\partial n'}\right|_{\Sigma'}\text{d}\Sigma'
u(r
)=∭V′G(r
′;r
)ρ(r
′)d3r
′−ε0∬Σ′f(Σ′)∂n′∂G(r
′;r
)
Σ′dΣ′
提示
实际上 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}')G(r
;r
′) 在 r⃗=r⃗′\vec{r}=\vec{r}'r
=r
′ 根本不连续，所以不能用 Green 公式；但是上面得到的结果是对的. 这是我们之前说过的「在 δ\deltaδ 函数后取极限的意义上是严格的」.
如果是第二类边界条件，那么相应地我们要取 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}')G(r
;r
′) 的边界条件应该是：
∂G(r⃗;r⃗′)∂n∣Σ=0\left.\frac{\partial G(\vec{r};\vec{r}')}{\partial n}\right|_\Sigma = 0
∂n∂G(r
;r
′)
Σ=0
但是如果是这样就会导致 G(r⃗;r⃗′)G(\vec{r};\vec{r}')G(r
;r
′) 不满足自身的方程 (也就是，有电荷但是电通量为零，违反 Gauss 定理). 这时候引入广义 Green 函数：
{∇2G(r⃗;r⃗′)=−1ε0[δ(r⃗−r⃗′)−cu0(r⃗)]∂G(r⃗;r⃗′)∂n^∣Σ=0\left\{\begin{aligned}
&\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}') = -\frac{1}{\varepsilon_0}\left[\delta(\vec{r}-\vec{r}')-cu_0(\vec{r})\right]\\
&\left.\frac{\partial G(\vec{r};\vec{r}')}{\partial\hat{n}}\right|_\Sigma = 0
\end{aligned}\right.
⎩
⎨
⎧∇2G(r
;r
′)=−ε01[δ(r
−r
′)−cu0(r
)]∂n^∂G(r
;r
′)
Σ=0
这里有
∭Vu0(r⃗)[δ(r⃗−r⃗′)−cu0(r⃗)]d3r⃗=0⟹c(r⃗′)=u0(r⃗′)∭Vu02(r⃗)d3r⃗\iiint_Vu_0(\vec{r})\left[\delta(\vec{r}-\vec{r}')-cu_0(\vec{r})\right]\text{d}^3\vec{r}=0\Longrightarrow c(\vec{r}')=\frac{u_0(\vec{r}')}{\displaystyle{\iiint_Vu_0^2(\vec{r})\text{d}^3\vec{r}}}
∭Vu0(r
)[δ(r
−r
′)−cu0(r
)]d3r
=0⟹c(r
′)=∭Vu02(r
)d3r
u0(r
′)
还是可以用 Green 公式算出最终解. 当然考试不考第二类边界条件的情况.
不同维度下也有 Green 函数，对于二维情况，无界区域的 Poisson 方程 Green 函数满足
[∂2∂x2+∂2∂y2]G(x,y;x′,y′)=−1ε0δ(x−x′)δ(y−y′)\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]G(x,y;x',y')=-\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(x-x')\delta(y-y')
[∂x2∂2+∂y2∂2]G(x,y;x′,y′)=−ε01δ(x−x′)δ(y−y′)
解的形式是
G(x,y;x′,y′)=−12πε0ln(x−x′)2+(y−y′)2+CG(x,y;x',y')=-\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\ln\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}+C
G(x,y;x′,y′)=−2πε01ln(x−x′)2+(y−y′)2
+C
另外，Green 函数具有对称性：G(r⃗;r⃗′)=G(r⃗′;r⃗)G(\vec{r};\vec{r}')=G(\vec{r}';\vec{r})G(r
;r
′)=G(r
′;r
).
调和函数
下面讨论调和方程和调和函数. 调和方程为
∇2u(r⃗)=0\nabla^2u(\vec{r})=0
∇2u(r
)=0
其解为调和函数. 我们已经知道 ∇2G(r⃗;r⃗′)=−δ(r⃗−r⃗′)\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}')=-\delta(\vec{r}-\vec{r}')∇2G(r
;r
′)=−δ(r
−r
′) 的解是
G(r⃗;r⃗′)=14π∣r⃗−r⃗′∣G(\vec{r};\vec{r}')=\frac{1}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}
G(r
;r
′)=4π∣r
−r
′∣1
两个方程交叉相乘再相减，再利用 Green 公式，
u(r⃗′)=∬Σu(r⃗)dΣr4π∣r⃗−r⃗′∣2+∬Σ∇u⋅dΣ⃗4π∣r⃗−r⃗′∣u(\vec{r}')=\iint_\Sigma\frac{u(\vec{r})\text{d}\Sigma_r}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|^2}+\iint_\Sigma\frac{\nabla u\cdot\text{d}\vec{\Sigma}}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}
u(r
′)=∬Σ4π∣r
−r
′∣2u(r
)dΣr+∬Σ4π∣r
−r
′∣∇u⋅dΣ
取 Σ\SigmaΣ 是以 r⃗′\vec{r}'r
′ 为球心、半径 RRR 的球面，那么
u(r⃗′)=14πR2∬Σu(r⃗)dΣ+14πR∬∇u⋅dΣ⃗u(\vec{r}')=\frac{1}{4\pi R^2}\iint_\Sigma u(\vec{r})\text{d}\Sigma+\frac{1}{4\pi R}\iint\nabla u\cdot\text{d}\vec{\Sigma}
u(r
′)=4πR21∬Σu(r
)dΣ+4πR1∬∇u⋅dΣ
后一项为零 (无通量)，得到调和函数在某一点的平均值公式：
u(r⃗′)=14πR2∬Σu(r⃗)dΣ,Σ:∣r⃗−r⃗′∣=Ru(\vec{r}')=\frac{1}{4\pi R^2}\iint_\Sigma u(\vec{r})\text{d}\Sigma,\quad \Sigma : |\vec{r}-\vec{r}'|=R
u(r
′)=4πR21∬Σu(r
)dΣ,Σ:∣r
−r
′∣=R
三维无界 Helmholtz 方程的 Green 函数
求三维无界空间 Helmholtz 方程的 Green 函数：
∇2G(r⃗;r⃗′)+k2G(r⃗;r⃗′)=−1ε0δ(r⃗−r⃗′),k>0\nabla^2G(\vec{r};\vec{r}')+k^2G(\vec{r};\vec{r}')=-\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(\vec{r}-\vec{r}'),\quad k>0
∇2G(r
;r
′)+k2G(r
;r
′)=−ε01δ(r
−r
′),k>0
先平移原点到 r⃗′\vec{r}'r
′，之后定义 G(r⃗;r⃗′)≡g(ξ,η,ζ)G(\vec{r};\vec{r}')\equiv g(\xi,\eta,\zeta)G(r
;r
′)≡g(ξ,η,ζ)：
∇ξ,η,ζ2g(ξ,η,ζ)+k2g(ξ,η,ζ)=−1ε0δ(ξ)δ(η)δ(ζ)\nabla^2_{\xi,\eta,\zeta}g(\xi,\eta,\zeta) + k^2g(\xi,\eta,\zeta) = -\frac{1}{\varepsilon_0}\delta(\xi)\delta(\eta)\delta(\zeta)
∇ξ,η,ζ2g(ξ,η,ζ)+k2g(ξ,η,ζ)=−ε01δ(ξ)δ(η)δ(ζ)
然后将这个直角坐标的方程换成球坐标的，这里有对称性，g(ξ,η,ζ)=f(R)g(\xi,\eta,\zeta)=f(R)g(ξ,η,ζ)=f(R). 方程变为零阶 Bessel 方程：
1R2ddR[R2df(R)dR]+k2f(R)=0\frac{1}{R^2}\frac{\text{d}}{\text{d}R}\left[R^2\frac{\text{d}f(R)}{\text{d}R}\right]+k^2f(R)=0
R21dRd[R2dRdf(R)]+k2f(R)=0
通解为
f(R)=AeikRR+Be−ikRRf(R)=A\frac{e^{\text{i}kR}}{R}+B\frac{e^{-\text{i}kR}}{R}
f(R)=AReikR+BRe−ikR
仅考虑发散波，同时利用 R=0R=0R=0 邻域内的小球积分，得到
f(R)=14πε0eikRR⟹G(r⃗;r⃗′)=14πε0eik∣r⃗−r⃗′∣∣r⃗−r⃗′∣f(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{\text{i}kR}}{R}\Longrightarrow G(\vec{r};\vec{r}')=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{\text{i}k|\vec{r}-\vec{r}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}'|}
f(R)=4πε01ReikR⟹G(r
;r
′)=4πε01∣r
−r
′∣eik∣r
−r
′∣
提示
也可以用三维 Fourier 变换来做，解得
G(κ⃗)=1ε0(2π)3/2(∣κ⃗∣2−k2)G(\vec{\kappa}) = \frac{1}{\varepsilon_0(2\pi)^{3/2}(|\vec{\kappa}|^2-k^2)}
G(κ
)=ε0(2π)3/2(∣κ
∣2−k2)1
含时的 Green 函数
讲义上的做法是错的！
对于下面问题：
[∂2∂t2−a2∂2∂x2]G(x,−t;x′′,−t′′)=δ(x−x′′)δ(t−t′′)G(x,−t;x′′,−t′′)∣x=0=0,G(x,−t;x′′,−t′′)∣x=l=0G(x,−t;x′′,−t′′)∣−t<−t′′=0,∂G(x,−t;x′′,−t′′)∂t∣−t<−t′′=0\begin{aligned}
&\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right]G(x,-t;x'',-t'')=\delta(x-x'')\delta(t-t'')\\\\
&G(x,-t;x'',-t'')\big|_{x=0}=0,\quad G(x,-t;x'',-t'')\big|_{x=l}=0\\\\
&G(x,-t;x'',-t'')\big|_{-t<-t''}=0,\quad \left.\frac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t}\right|_{-t<-t''}=0
\end{aligned}
[∂t2∂2−a2∂x2∂2]G(x,−t;x′′,−t′′)=δ(x−x′′)δ(t−t′′)G(x,−t;x′′,−t′′)
x=0=0,G(x,−t;x′′,−t′′)
x=l=0G(x,−t;x′′,−t′′)
−t<−t′′=0,∂t∂G(x,−t;x′′,−t′′)
−t<−t′′=0
时间的流动是有方向性的，因果关系不能倒易. 因此要重新研究 Green 函数的对称性：
G(x′,−t′;x′′,−t′′)−G(x′′,t′′;x′,t′)=∫0ldx∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂2G(x,t;x′,t′)∂t2−G(x,t;x′,t′)∂2G(x,−t;x′′,−t′′)∂t2]dt=∫0l[G(x′,−t′;x′′,−t′′)∂G(x,t;x′,t′)∂t−G(x,t;x′,t′)∂G(x,−t;x′′,−t′′)∂t]0∞dx−a2∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂G(x,t;x′,t′)∂x−G(x,t;x′,t′)\begin{aligned}
&G(x',-t';x'',-t'') - G(x'',t'';x',t')\\\\
&= \int_0^l\text{d}x\int_0^\infty\Big[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial^2G(x,t;x',t')}{\partial t^2}\\\\
&\quad-G(x,t;x',t')\frac{\partial^2G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t^2}\Big]\text{d}t \\\\
&= \int_0^l\Big[G(x',-t';x'',-t'')\frac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial t}\\\\
&\quad-G(x,t;x',t')\frac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t}\Big]^\infty_0\text{d}x\\\\
&\quad-a^2\int_0^\infty\Big[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial x}\\\\
&\quad-G(x,t;x',t')
\end{aligned}
G(x′,−t′;x′′,−t′′)−G(x′′,t′′;x′,t′)=∫0ldx∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂t2∂2G(x,t;x′,t′)−G(x,t;x′,t′)∂t2∂2G(x,−t;x′′,−t′′)]dt=∫0l[G(x′,−t′;x′′,−t′′)∂t∂G(x,t;x′,t′)−G(x,t;x′,t′)∂t∂G(x,−t;x′′,−t′′)]0∞dx−a2∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂x∂G(x,t;x′,t′)−G(x,t;x′,t′)