5.4 最大值与首中时的分布特性

设 \(\{B(t),t\ge0\}\)是标准布朗运动，不妨设 \(B(0)=0\)。

定义：首次击中 \(a\) 的时间 \(\tau_a=\inf\{t:t\ge0,B(t)=a\}\)

定义：对 \(\forall t >0, M(t)=\max_{0\le u\le t}B(u)\) 表示 \([0,t]\) 上的最大值。

当 \(a > 0\) 时，显然存在等价关系\(\{\tau_a \le t\} = \{M(t) \gea\}\)，因此有 \(P(\tau_a \le t) =P(M(t) \ge a)\)。

Remark：事实上，这与泊松过程中定义的 \(\{S_n\le t\} = \{N(t)\ge n\}\)类似。主要差别在于泊松过程中讨论离散点情况，这里讨论连续情况。

定理 5.6：对任意 \(a>0\)，\(M(t)\) 和 \(\tau_a\) 的分布密度函数分别为 \[\begin{aligned}f_{M(t)}(a) &= \sqrt{\frac{2}{\pi t} } e^{-a^2/ 2t}I_{[0,\infty)}(a) \\f_{\tau_a}(t) &= \frac{a}{\sqrt{2\pi} } e^{-a^2/2t} t^{-3/2}, \quadt > 0\end{aligned}\] \(\tau_a\) 的 Laplace 变换为\({\mathbb E}[\exp(-s\tau_a)] =e^{-\sqrt{2s}a}, ~ s>0\)。

证明：\(P(B(t)\ge a) = P(B(t\ge a | \tau_a\le t))P(\tau_a \le t)\)，由于 \(P(B(t)\ge a) | \tau_a\le t) = P(B(t)< a) |\tau_a\le t)=1/2\)，因此可以得到 \(P(M(t)\ge a) = P(\tau_a \le t) = 2P(B(t)\gea)=\frac{2}{\sqrt{2\pi t} }\int_a^{\infty} e^{-x^2 /2t}dx\)。于是 \(f_{M(t)}(a)={d(1-P(M(t)\ge a))} /{da}\)，\(f_{\tau_a}(t) = d(P(\tau_a\le t)) / da\)，证毕。

利用上述定理可以到如下结果：

1. \(\tau_a\) 几乎处处有限，即 \(P(\tau_a < \infty)=1\)；
2. \({\mathbb E}\tau_a =\infty\)。

证明：1）\(P(\tau_a<\infty) =\lim_{t\to\infty}=P(\tau_a \le t) = \lim_{t\to\infty}\frac{2}{\sqrt{2\pi} }\int_{a/\sqrt{t} }^{\infty} e^{-u^2/2}du =1\)；2）\({\mathbbE}[\exp(-s\tau_a)]=e^{-\sqrt{2s}a}\)，两边对 \(s\) 求导得到 \({\mathbb E}[\tau_a \exp(-s\tau_a)] =\frac{\sqrt{2} }{2} a s^{-1/2} e^{-\sqrt{2s}a}\)，令 \(s\to 0\) 即可得到 \({\mathbb E}\tau_a = \infty\)，证毕。

栗子 5.1：

定理 5.7：设 \(\{B(t)\}\) 为标准布朗运动，\(\forall a > 0, y\ge0\) 有 \(P(B(t)\le a-y, M(t)\ge a) = P(B(t) \gea+y)\)

证明：根据反射性定义 \(B^{\ast}(t) =2a-B(t)\)...