这是我的系统分析与控制期末小抄，是对老师课件的总结。原文由$\LaTeX$编写，可点击此处下载。

Laplace变换

傅里叶变换的定义：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$。绝对可积是充分不必要条件。

拉普拉斯变换的定义：$F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$；记号：$F(s)=\mathrm{L}[f(t)],f(t)=\mathrm{L}^{-1}[F(s)]$。

常见函数的拉普拉斯变换：阶跃函数，$f(t)=A,F(s)=\frac{A}{s}$；斜坡函数，$f(t)=At,F(s)=\frac{A}{s^2}$；指数函数，$f(t)=e^{-at},F(s)=\frac{1}{s+a}$；正弦函数，$f(t)=\sin(\omega t),F(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$。

拉普拉斯变换的性质：线性性质，$\mathrm{L}[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)$；微分性质，若$f(0)=f’(0)=\cdots=0$，则$\mathrm{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)$，否则$\mathrm{L}[f’(t)]=sF(s)-f(0)$；积分性质，$\mathrm{L}[\int_0^tf(\tau)d\tau]=\frac{1}{s}F(s)$；延迟性质，$\mathrm{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau s}F(s)$；终值定理：$\lim\limits_{t\to\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)$；初值定理：$\lim\limits_{t\to 0}f(t)=\lim\limits_{s\to\infty}sF(s)$。

有理函数的分解：对于$F(s)=\frac{\cdots}{(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)}$，1) 均为单实根，令$F(s)=\frac{c_1}{s-s_1}+\frac{c_2}{s-s_2}+\cdots+\frac{c_n}{s-s_n}$，则$c_i=\lim\limits_{s\to s_i}(s-s_i)F(s)$，2) 多重实根，令$F(s)=\frac{c_n}{(s-s_1)^n}+\frac{c_{n-1}}{(s-s_1)^{n-1}}+\cdots+\frac{c_1}{s-s_1}$，则$c_n=\lim\limits_{s\to s_1}(s-s_1)^nF(s),c_{n-j}=\frac{1}{j!}\lim\limits{s\to s_1}\frac{d^j}{ds^j}[(s-s_1)^nF(s)]$。

商的求导法则，$[\frac{u}{v}]’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$，$[\frac{1}{x}]=-\frac{1}{x^2}$。

时域分析

稳定性

定义：系统偏离平衡状态后，在没有外力作用下，其状态能自动地回到平衡状态。令$y_t(t)$为暂态分量，稳定则$\lim\limits_{t\to\infty}y_t(t)=0$。为什么需要稳定性？ 由系统内在特性造成的输出响应必须逐渐衰减并最终消失，从而才可能专心地跟踪输入信号或者抑制干扰影响。

稳定性分析：特征方程的根，1) 都在左半平面，则稳定，2) 虚轴上有单根，其他根都在左半平面，则临界稳定，3) 由半平面有根或者虚轴上有重根，则不稳定。

传递函数：零初始条件。$G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}$，其中$Y(s)$是输出，$R(s)$是输入。特征方程的根就是传递函数的极点。

结构图

闭环传递函数：令$G(s)$是前向传递函数，$H(s)$是负反馈传递函数，则闭环传递函数$\frac{Y(s)}{R(s)}-\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$。

结构图的等效与化简：略。

劳斯判据（根稳定性判别方法）：对于6次方程$F(s)=a_0s^6+a_1s^5+\cdots+a_5s+a_6$，如下列出前两行：

|-|-|-|-|-| | $s^6$ | $a_0$ | $a_2$ | $a_4$ | $a_6$ | | $s^5$ | $a_1$ | $a_3$ | $a_5$ | 0 |

然后按照$a_{ij}=-\frac{1}{a_{i-1,1}}\begin{vmatrix} a_{i-2,1} & a_{i-2,j+1} \ a_{i-1,1} & a_{i-1,j+1} \end{vmatrix}$，填充其它行。第一列符号改变次数等于右半平面根数。若劳斯判据第一列无符号改变，则根稳定。

劳斯判据第一列为0：如果某一行第一个元素为0，其余元素不为0，将0代替为一个小的正数$\epsilon$；如果某一行第一个元素为0，其余元素也为0，则有关于原点对称的根，这时使用辅助多项式，求其微分作为新的一行，例子如下。

|-|-|-| | $s^3$ | 6 | 6 | | $s^2$ | 4 | 4 | | $s^1$ | 0 | 0 |

这时辅助多项式为$A(s)=4s^2+4$，则$\frac{dA(s)}{ds}=8s$，故最后的表格如下。

|-|-|-| | $s^3$ | 6 | 6 | | $s^2$ | 4 | 4 | | $s^1$ | 8 | 0 | | $s^0$ | 4 | |

稳态性能

产生原因：反馈控制系统需要误差信号来产生控制作用。如果稳态时仍然需要控制作用，就必须有非零的误差以维持控制作用（$u=Ke$）。从而产生了稳态误差。

计算稳态误差的前提：系统是稳定的。

输入稳态误差和干扰稳态误差计算如下。

$$e_{ss}=\lim_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+G_1(s)H(s)}+\lim_{s\to 0}\frac{-sG_2(s)H(s)V(s)}{1+G_1(s)H(s)}$$

阶跃输入下的稳态误差：$e_s=\frac{R}{1+\lim\limits_{s\to 0}G_1(s)H(s)}=\frac{R}{1+K_p}$，其中$K_p=\lim\limits_{s\to 0}G_1(s)H(s)$为位置品质系数。

斜坡输入下的稳态误差：$e_s=\frac{R}{\lim\limits_{s\to 0}sG_1(s)H(s)}=\frac{R}{K_v}$，其中$K_v=\lim\limits_{s\to 0}sG_1(s)H(s)$为速度品质系数。

斜坡输入下的稳态误差：$e_s=\frac{R}{\lim\limits_{s\to 0}s^2G_1(s)H(s)}=\frac{R}{K_a}$，其中$K_a=\lim\limits_{s\to 0}s^2G_1(s)H(s)$为加速度品质系数。

稳态误差总结：令 $$G_1(s)H(s)=\frac{K\prod\limits_{k=1}^p(T_ks+1)\prod\limits_{l=1}^q(T_l^2s^2+2\xi_lT_ls+1)}{s^r\prod\limits_{i=1}^m(T_is+1)\prod\limits_{j=1}^n(T_j^2s^2+2\xi_jT_js+1)}$$

	阶跃	斜坡	抛物线
$r=0$	$\frac{R}{1+K}$	$\infty$	$\infty$
$r=1$	$0$	$\frac{R}{K}$	$\infty$
$r=2$	$0$	$0$	$\frac{R}{K}$

$\frac{1}{s}$越多，稳态性能越好。

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