这篇文章是我数学复习计划的一部分，内容参考清华大学出版社的《高等微积分教程》上册和姚家燕老师在微积分课上的讲义。

实数系与实数列的极限

实数系

引入了上界、下界、有界和无界的概念。

还引入了最大值、最小值、上确界（最小上界）$\sup A$和下确界$\inf A$的概念。

确界定理：有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界。

上确界的刻画：$\xi=\sup A\Leftrightarrow\xi$是$A$的上界，且$\forall\epsilon>0,\exists x\in A, x>\xi-\epsilon$。同样也有下确界的刻画。

数列极限的基本概念

数列极限：$\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N}, \forall n>N,|a_n-A|<\epsilon$。则称数列$\{a_n\}$有极限$A$，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。

收敛数列的性质

收敛数列有以下性质：

1. 唯一性；
2. 有限韧性：添加、删除或改变有限项，不改变收敛性与极限值；
3. 均匀性：数列$\{a_n\}$收敛于$A \Leftrightarrow$它的任意子列收敛于$A$；
4. 有界性；
5. 局部保序：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，则
   1. $A>B\Rightarrow\exists N>0,\forall n>N, a_n>b_n$；
   2. $\exists N>0, \forall n>N, a_n\geq b_n\Rightarrow A\geq B$。
6. 局部保号：上述数列$\{b_n\}$取$0$常数列可得到的推论。

极限遵守四则运算法则。此外还有夹逼原理：$\exists n_0>0,\forall n>n_0, a_n\leq x_n\leq b_n$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=A$，则$x_n$收敛且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$。

增长速度：$1 < \log n < n^\alpha (\alpha>0) < a^n (a>1) < n! < n^n$。

平均性：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A$。

单调数列

引入了单调递增（单调递减）、严格单调递增（严格单调递减）的概念。

单调有界定理：单调递增有上界的数列必收敛，单调递减有下界的数列必收敛。

由此可定义自然对数$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$。且有$(1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$。

Stolz定理

引入了趋向于$+\infty$、趋向于$-\infty$和趋向于$\infty$的概念。

Stolz定理：设数列$\{b_n\}$严格递增趋于$+\infty$，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A\in R\cup\{\pm\infty\}\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$。

关于实数系的几个基本定理

下列结论等价：

1. 确界定理；
2. 单调有界定理；
3. 区间套定理：$\{[a_n,b_n]\}$满足$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq\cdots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\cdots$且$\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c$且$\bigcap\limits_{n=1}^\infty[a_n,b_n]=\{c\}$；
4. 列紧性：有界数列必有收敛子列；
5. 称$\{x_n\}$为Cauchy数列，若$\forall\epsilon>0,\exists N>0,\forall m,n>N,|x_m-x_n|<\epsilon$。数列收敛当且仅当它为Cauchy数列。

函数，函数的极限与连续

函数

引入了映射、定义域和值域的概念。定义域和值域均为数集的映射称为函数。

定义了函数的四则运算及映射的复合，单射、满射及双射的概念。对于双射还可以定义其逆映射。

函数的基本性质有：

1. 有界性；
2. 周期性；
3. 奇偶性；
4. 单调性。

严格单调函数为单射。严格单调函数的反函数与原来的函数有同样的单调性。

基本初等函数有：

1. 常数函数；
2. 幂指对函数；
3. 三角函数；
4. 反三角函数。

基本初等函数经过有限次四则运算和复合后得到的函数称为初等函数。

函数极限的概念

对于$x_0\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$，定义了$\epsilon$-领域$B_X(x_0,\epsilon)$和$\epsilon$-去心领域$\mathring{B}_X(x_0,\epsilon)$。

设$X$为非空数集，$x_0\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$，如果$\forall\epsilon>0,\mathring{B}_X(x_0,\epsilon)\neq\emptyset$，则称$x_0$为$X$的极限点。

刻画：设$X$为非空数集，$a\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$，则$a$为$X$的极限点$\Leftrightarrow X\setminus\{a\}$存在极限为$a$的数列。

函数极限的定义：设$X$为非空数集，$x_0\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$为$X$的极限点，$a\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$，$f:X\to\mathbb{R}$为函数。若$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in\mathring{B}_X(x_0,\delta),f(x)\in B(a,\epsilon)$，则称当$x$趋近于$x_0$时，$f(x)$趋近于$a$，记为$\lim\limits_{X\ni x\to x_0}f(x)=a$。有如下几种情况：

1. $x_0,a\in\mathbb{R}$，有如下三种情况：
   1. $\exists\eta>0,X\supseteq(x_0-\eta,x_0+\eta)$，则我们有$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$；
   2. 右极限：$\exists\eta>0,X\supseteq(x_0,x_0+\eta)$，则我们有$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=a$；
   3. 左极限：$\exists\eta>0,X\supseteq(x_0-\eta,x_0)$，则我们有$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=a$；
2. $x_0\in\mathbb{R},a\in\{\infty,\pm\infty\}$，极限及其左右极限，共9种情况；
3. $x_0\in\{\infty,\pm\infty\},a\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$，共12种情况。

函数在某点（包括$\infty$）极限存在等价于其左右极限存在且相等。

函数极限的性质

函数极限与数列极限的关系：设$X$为非空数集，$x_0$为$X$的极限点，$f:X\to\mathbb{R}$为函数，而$a\in\mathbb{R}\cup\{\infty,\pm\infty\}$，那么$\lim\limits_{X\ni x\to x_0}f(x)=a\Leftrightarrow$对$X\setminus\{x_0\}$中极限为$x_0$的任意数列$\{a_n\}$，有$\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=a$。

函数极限有以下性质：

1. 唯一性；
2. 局部有界性：对于$\lim\limits_{X\ni x\to x_0}f(x)=a$，则$\exists\delta,M>0,\forall x\in\mathring{B}_X(x_0,\delta),|f(x)|<M$；
3. 局部保序：对于$\lim\limits_{X\ni x\to x_0}f(x)=a,\lim\limits_{X\ni x\to x_0}g(x)=b$：
   1. $a>b\Rightarrow\exists\delta>0,\forall x\in\mathring{B}_X(x_0,\delta),f(x)>g(x)$；
   2. $\exists\delta>0,\forall x\in\mathring{B}_X(x_0,\delta),f(x)\geq g(x)\Rightarrow a\geq b$。
4. 局部保序：上述$g(x)$恒取$0$可得到的推论。...