习题 1

说明固有时与坐标时的关系与差别；证明在相对于观测者静止的坐标系中，有

$$\text{d}\tau=\sqrt{-g_{00}}\cdot\text{d}t$$

相对于观者静止的坐标系，线元表达为

$$\text{d}s^2=g_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\text{d}x^\nu=-c^2\text{d}\tau^2$$

观者在这个坐标系中并没有相对速度，所以在一阶下没有空间位移，有

$$\text{d}s^2=g_{00}\text{d}x^0\text{d}x^0=c^2g_{00}(\text{d}t)^2$$

这就证明了

$$\text{d}\tau=\sqrt{-g_{00}}\cdot\text{d}t$$

习题 2

在相对论中并不存在真实的标准尺. 固有距离是在约定光速的基础上，通过测量时间得到的. 证明固有距离的公式：

$$\text{d}l^2=\gamma_{ik}\text{d}x^i\text{d}x^k$$

考虑两个相邻的空间点 $A,B$，在 $^{(1)}x^0_A$ 时刻 $A$ 点发出光信号，在 $x^0_B...$