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Lesson 61 ODE 速通

2025年6月6日 12:35

提示

同学们，我们今天需要讲得极快.

旋度

curl (P, Q, R)...剩余内容已隐藏 查看完整文章以阅读更多查看完整文章(self.__next_f=self.__next_f||[]).push([0])self.__next_f.push([1,"1:\"$Sreact.fragment\"\n2:I[39756,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"default\"]\n3:I[37457,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"default\"]\n4:I[79520,[\"/_next/static/chunks/05c08c33f311058e.js\"],\"\"]\n6:I[97367,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"OutletBoundary\"]\n8:I[11533,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"AsyncMetadataOutlet\"]\na:I[97367,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"ViewportBoundary\"]\nc:I[97367,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"MetadataBoundary\"]\nd:\"$Sreact.suspense\"\nf:I[68027,[\"/_next/static/chunks/05c08c33f311058e.js\"],\"default\"]\n:HL[\"/_next/static/chunks/aeb0d837d331be8d.css\",\"style\"]\n:HL[\"/_next/static/media/797e433ab948586e-s.p.dbea232f.woff2\",\"font\",{\"crossOrigin\":\"\",\"type\":\"font/woff2\"}]\n:HL[\"/_next/static/media/caa3a2e1cccd8315-s.p.853070df.woff2\",\"font\",{\"crossOrigin\":\"\",\"type\":\"font/woff2\"}]\n"])self.__next_f.push([1,"0:{\"P\":null,\"b\":\"1-eHBNv7Or-ljjbwnF-2i\",\"p\":\"\",\"c\":[\"\",\"article?id=064cdef4-9c0a-4f2d-ba0d-95119ed1f89d\u0026link=https%3A%2F%2Fphysnya.top%2Fintegral%2Flesson-61%2F\"],\"i\":false,\"f\":[[[\"\",{\"children\":[\"article\",{\"children\":[\"__PAGE__?{\\\"id\\\":\\\"064cdef4-9c0a-4f2d-ba0d-95119ed1f89d\\\",\\\"link\\\":\\\"https://physnya.top/integral/lesson-61/\\\"}\",{}]}]},\"$undefined\",\"$undefined\",true],[\"\",[\"$\",\"$1\",\"c\",{\"children\":[[[\"$\",\"link\",\"0\",{\"rel\":\"stylesheet\",\"href\":\"/_next/static/chunks/aeb0d837d331be8d.css\",\"precedence\":\"next\",\"crossOrigin\":\"$undefined\",\"nonce\":\"$undefined\"}],[\"$\",\"script\",\"script-0\",{\"src\":\"/_next/static/chunks/05c08c33f311058e.js\",\"async\":true,\"nonce\":\"$undefined\"}]],[\"$\",\"html\",null,{\"lang\":\"zh-CN\",\"children\":[[\"$\",\"head\",null,{\"children\":[\"$\",\"link\",null,{\"rel\":\"stylesheet\",\"href\":\"/fontawesome.min.css\"}]}],[\"$\",\"body\",null,{\"className\":\"geist_a71539c9-module__T19VSG__variable 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stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\\\"true\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmo separator=\\\"true\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eR\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\\\"false\\\"\u003e)...\"}}],[\"$\",\"div\",null,{\"className\":\"relative -mt-24 h-24 bg-gradient-to-b from-transparent via-white/80 to-white flex items-end justify-center pb-4\",\"children\":[\"$\",\"div\",null,{\"className\":\"text-center\",\"children\":[[\"$\",\"p\",null,{\"className\":\"text-sm text-gray-500 font-medium mb-2\",\"children\":\"剩余内容已隐藏\"}],[\"$\",\"div\",null,{\"className\":\"flex items-center gap-1 text-xs text-gray-400\",\"children\":[[\"$\",\"svg\",null,{\"className\":\"w-3 h-3\",\"fill\":\"none\",\"stroke\":\"currentColor\",\"viewBox\":\"0 0 24 24\",\"children\":[\"$\",\"path\",null,{\"strokeLinecap\":\"round\",\"strokeLinejoin\":\"round\",\"strokeWidth\":2,\"d\":\"M19 9l-7 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S}\\vec{F}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\\overset{\\text{Stokes}}{=}\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\text{d}\\vec{S}=\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\hat{n}\\text{d}S\n\int\partialS​F\n\cdotdr\n=Stokes\iintS​(\nabla\timesF\n)\cdotdS\n=\iintS​(\nabla\timesF\n)\cdotn^dS\n因为想要探测这一点处的旋转快慢，所以取积分区域趋于这一点的极限，这样 “测量” 得更加准确. 于是有\nlimr\to01area(S)\int\partialSF⃗\cdotdr⃗=limr\to01area(S)\iintS(curl(F⃗)\cdotn^)dS=limr\to0curl(F⃗)Q\cdotn^=(curlF⃗)(P⃗)\cdotn^\\begin{aligned}\n\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{\\text{area}(S)}\\int_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\u0026=\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{\\text{area}(S)}\\iint_S(\\text{curl}(\\vec{F})\\cdot\\hat{n})\\text{d}S\\\\\\\\\n\u0026=\\lim_{r\\to0}\\text{curl}(\\vec{F})_{Q}\\cdot\\hat{n}\\\\\\\\\n\u0026=(\\operatorname{curl}\\vec{F})(\\vec{P})\\cdot\\hat{n}\n\\end{aligned}\nr\to0lim​area(S)1​\int\partialS​F\n\cdotdr\n​=r\to0lim​area(S)1​\iintS​(curl(F\n)\cdotn^)dS=r\to0lim​curl(F\n)Q​\cdotn^=(curlF\n)(P\n)\cdotn^​\n这说明，某点处的旋转快慢程度可以用该点处旋度向旋转轴的的投影来描述.\n总结一下我们目前的场论知识：\n{scalar field A}⟶grad{vector field X}⟶curl{vector field}⟶div{scalar field}Ω0(R3)⟶dΩ1(R3)⟶dΩ2(R3)⟶dΩ3(R3)\\{\\text{scalar field }A\\}\\overset{\\text{grad}}{\\longrightarrow}\\{\\text{vector field }\\mathscr{X}\\}\\overset{\\text{curl}}{\\longrightarrow}\\{\\text{vector field}\\}\\overset{\\text{div}}{\\longrightarrow}\\{\\text{scalar field}\\}\\\\\\newline\n\\Omega^0(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^1(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^2(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^3(\\R^3)\n{scalar field A}⟶grad​{vector field X}⟶curl​{vector field}⟶div​{scalar field}Ω0(R3)⟶d​Ω1(R3)⟶d​Ω2(R3)⟶d​Ω3(R3)\n物理上有一些常用的命题：就是上述任意两步连续进行都会变成 000.\n/Claim/\ncurl(gradφ)=0 ,div(curlv)=0\\operatorname{curl}(\\operatorname{grad}\\varphi)=0\\,,\\quad\\operatorname{div}(\\operatorname{curl}v)=0\ncurl(gradφ)=0,div(curlv)=0\n梯度场无旋，旋度场无散.\n上述图表是交换的，如下：\n\n/Claim/\nd\circd\\text{d}\\circ\\text{d}d\circd 恒为零.\n/Proof/\nd\circd(fdxi1\dotsdxik)=d(\sumj\partialf\partialxjdxjdxi1\dotsdxik)=\sumj\sumt\partial\partialxt(\partialf\partialxj)dxtdxjdxi1\dotsdxik\\begin{aligned}\n\u0026\\text{d}\\circ\\text{d}(f\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k})\\\\\\\\\n\u0026=\\text{d}\\left(\\sum_{j}\\frac{\\partial f}{\\partial x_j}\\text{d}x_j\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}\\right)\\\\\\\\\n\u0026=\\sum_j\\sum_t\\frac{\\partial}{\\partial x_t}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_j}\\right)\\text{d}x_t\\text{d}x_j\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}\n\\end{aligned}\n​d\circd(fdxi1​​\dotsdxik​​)=d(j\sum​\partialxj​\partialf​dxj​dxi1​​\dotsdxik​​)=j\sum​t\sum​\partialxt​\partial​(\partialxj​\partialf​)dxt​dxj​dxi1​​\dotsdxik​​​\n计算 dxpdxqdxi1\dotsdxik\\text{d}x_p\\text{d}x_q\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}dxp​dxq​dxi1​​\dotsdxik​​ 项的系数：\n\partial\partialxp(\partialf\partialxq)-\partial\partialxq(\partialf\partialxp)=0\\frac{\\partial}{\\partial x_p}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_q}\\right)-\\frac{\\partial}{\\partial x_q}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_p}\\right)=0\n\partialxp​\partial​(\partialxq​\partialf​)-\partialxq​\partial​(\partialxp​\partialf​)=0\n所以上式恒为零.\n改述命题为：若 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω，则 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0. 我们想要问这个条件是否是充要条件，也就是是否有：若 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0，则 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω？\n/Lemma/ (Poincare 引理)\n在 Rn\\R^nRn 上成立，设 α\inΩk(Rn)\\alpha\\in\\Omega^k(\\R^n)α\inΩk(Rn) 满足 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0，则 \exists  ω\inΩk-1(Rn)\\exist\\,\\,\\omega\\in\\Omega^{k-1}(\\R^n)\existsω\inΩk-1(Rn) 使得 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω.\nn=3n=3n=3 时，物理上我们有这样的说法：\nk=1k=1k=1，R3\\R^3R3 上的无旋场一定有势 (若 \nabla\timesA⃗=0⟹\exists  A⃗=\nablaφ\\nabla\\times\\vec{A}=0\\Longrightarrow\\exist\\,\\,\\vec{A}=\\nabla\\varphi\nabla\timesA\n=0⟹\existsA\n=\nablaφ)；\nk=2k=2k=2，R3\\R^3R3 上的无散场来自旋度场 (若 \nabla\cdotB⃗=0⟹\exists  A⃗\\nabla\\cdot\\vec{B}=0\\Longrightarrow\\exist\\,\\,\\vec{A}\nabla\cdotB\n=0⟹\existsA\n 使得 B⃗=\nabla\timesA⃗\\vec{B}=\\nabla\\times\\vec{A}B\n=\nabla\timesA\n).\n我们不仔细证明这一结论，因为一般情况比我们想象中要难证明很多. 但是可以先尝试证明 n=3n=3n=3，k=1k=1k=1 的情况：\n/Proof/\n设 A⃗\\vec{A}A\n 无旋，来定义势能 φ\\varphiφ. 定义：\nφ(u⃗)-φ(u⃗0)=\intL⃗A⃗\cdotdr⃗\\varphi(\\vec{u})-\\varphi(\\vec{u}_0)=\\int_{\\vec{L}}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\nφ(u\n)-φ(u\n0​)=\intL\n​A\n\cdotdr\n\n验证定义与 L⃗\\vec{L}L\n 无关：取简单闭曲线 C=L⃗-L⃗'C=\\vec{L}-\\vec{L}'C=L\n-L\n' (不妨假设 LLL \u0026 L'L'L' 无自交点)\n由 topology，可以证明任意简单闭曲线都能表示为某个曲面的边界. 则有\n\intCA⃗\cdotdr⃗=\iintS(\nabla\timesA⃗)\cdotdS⃗=0\\int_C\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}=\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{A})\\cdot\\text{d}\\vec{S}=0\n\intC​A\n\cdotdr\n=\iintS​(\nabla\timesA\n)\cdotdS\n=0\n(A⃗\\vec{A}A\n 无旋) 所以\n\intL⃗A⃗\cdotdr⃗-\intL⃗'A⃗\cdotdr⃗=0\\int_{\\vec{L}}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}-\\int_{\\vec{L}'}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}=0\n\intL\n​A\n\cdotdr\n-\intL\n'​A\n\cdotdr\n=0\n得证.\n对于 k=2k=2k=2 的部分，Poincare 手动构造出了旋度场使得 \nabla\timesA⃗=B⃗\\nabla\\times\\vec{A}=\\vec{B}\nabla\timesA\n=B\n：\n/Proof/\n如下构造：\nA1(x,y,z)=\int01[zB2(tx,ty,tz)-yB3(tx,ty,tz)]tdtA2(x,y,z)=\int01[xB3(tx,ty,tz)-zB1(tx,ty,tz)]tdtA3(x,y,z)=\int01[yB1(tx,ty,tz)-xB2(tx,ty,tz)]tdt\\begin{aligned}\nA_1(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[zB_2(tx,ty,tz)-yB_3(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\\\\\nA_2(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[xB_3(tx,ty,tz)-zB_1(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\\\\\nA_3(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[yB_1(tx,ty,tz)-xB_2(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\n\\end{aligned}\nA1​(x,y,z)A2​(x,y,z)A3​(x,y,z)​=\int01​[zB2​(tx,ty,tz)-yB3​(tx,ty,tz)]tdt=\int01​[xB3​(tx,ty,tz)-zB1​(tx,ty,tz)]tdt=\int01​[yB1​(tx,ty,tz)-xB2​(tx,ty,tz)]tdt​\n只需要证明 \nabla\timesA⃗=B⃗\\nabla\\times\\vec{A}=\\vec{B}\nabla\timesA\n=B\n. 我们只证明如下式子：\nB1(x,y,z)=\partial\partialyA3-\partial\partialzA2B_1(x,y,z)=\\frac{\\partial}{\\partial y}A_3-\\frac{\\partial}{\\partial z}A_2\nB1​(x,y,z)=\partialy\partial​A3​-\partialz\partial​A2​\n我们在这里需要知道含参积分的求导：\n对于含参积分\nF(x)=\intcdf(x,y)dyF(x)=\\int_c^df(x,y)\\text{d}y\nF(x)=\intcd​f(x,y)dy\n/Theorem/\n若 fff 是连续二元函数 ⟹\\Longrightarrow⟹ FFF 连续.\n进一步，若 \partialf\partialx\\frac{\\partial f}{\\partial x}\partialx\partialf​ 也连续，则\nF'(x)=\intcd\partialf\partialx(x,y)dyF'(x)=\\int_c^d\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\\text{d}y\nF'(x)=\intcd​\partialx\partialf​(x,y)dy\n提示\n也就是 “积分里面求微分”.\nFeynman 声称他在中学时知道了这个 “积分里求微分” 的方法，并且他吹嘘说这个方法让他得了 Nobel Prize，因为在做 QED 的路径积分时要非常经常地使用这一方法.\n\partialA3\partialy=\partial\partialy\int01(yB1-xB2)tdt=\int01[B1(tx,ty,tz)+t\partialB1\partialy(tx,ty,tz)t-x\partialB2\partialy(tx,ty,tz)t]tdt\\begin{aligned}\n\u0026\\frac{\\partial A_3}{\\partial y}\\\\\u0026=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\int_0^1(yB_1-xB_2)t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[B_1(tx,ty,tz)+t\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}(tx,ty,tz)t-x\\frac{\\partial B_2}{\\partial y}(tx,ty,tz)t\\right]t\\text{d}t\n\\end{aligned}\n​\partialy\partialA3​​=\partialy\partial​\int01​(yB1​-xB2​)tdt=\int01​[B1​(tx,ty,tz)+t\partialy\partialB1​​(tx,ty,tz)t-x\partialy\partialB2​​(tx,ty,tz)t]tdt​\n另一项同理，相减得到\n\partialA3\partialy-\partialA2\partialz=\int01[B1+y\partialB1\partialyt-x\partialB2\partialyt-x\partialB1\partialzt+B1+z\partialB1\partialzt]tdt=\int01[2B1+y\partialB1\partialyt+x\partialB1\partialxt+z\partialB1\partialzt]tdt=\int01[2B1(tx,ty,tz)tdt+(dB1(tx,ty,tz)dt)t2dt]=\int012B1(tx,ty,tz)tdt+B1(tx,ty,tz)t2∣01-\int01B1(tx,ty,tz)\cdot2tdt=B1(x,y,z)\\begin{aligned}\n\u0026\\frac{\\partial A_3}{\\partial y}-\\frac{\\partial A_2}{\\partial z}\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[B_1+y\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}t-x\\frac{\\partial B_2}{\\partial y}t-x\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t+B_1+z\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t\\right]t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[2B_1+y\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}t+x\\frac{\\partial B_1}{\\partial x}t+z\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t\\right]t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[2B_1(tx,ty,tz)t\\text{d}t+\\left(\\frac{\\text{d}B_1(tx,ty,tz)}{\\text{d}t}\\right)t^2\\text{d}t\\right]\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^12B_1(tx,ty,tz)t\\text{d}t+B_1(tx,ty,tz)t^2|^1_0-\\int_0^1B_1(tx,ty,tz)\\cdot2t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=B_1(x,y,z)\n\\end{aligned}\n​\partialy\partialA3​​-\partialz\partialA2​​=\int01​[B1​+y\partialy\partialB1​​t-x\partialy\partialB2​​t-x\partialz\partialB1​​t+B1​+z\partialz\partialB1​​t]tdt=\int01​[2B1​+y\partialy\partialB1​​t+x\partialx\partialB1​​t+z\partialz\partialB1​​t]tdt=\int01​[2B1​(tx,ty,tz)tdt+(dtdB1​(tx,ty,tz)​)t2dt]=\int01​2B1​(tx,ty,tz)tdt+B1​(tx,ty,tz)t2∣01​-\int01​B1​(tx,ty,tz)\cdot2tdt=B1​(x,y,z)​\n得证.\n/Remark/\n这是如何构造出来的？\n相当于构造 Φ:Rn\times[0,1]\toRn\\Phi:\\R^n\\times[0,1]\\to\\R^nΦ:Rn\times[0,1]\toRn，得到 Φ(x1,\dots ,xn,t)=(tx1,\dots ,txn)\\Phi(x_1,\\cdots,x_n,t)=(tx_1,\\cdots,tx_n)Φ(x1​,\dots,xn​,t)=(tx1​,\dots,txn​).\nPoincare 令：\n\int01(Φ*α)=ω\\int_0^1(\\Phi^*\\alpha)=\\omega\n\int01​(Φ*α)=ω\n则 ω\inΩk-1(Rn)\\omega\\in\\Omega^{k-1}(\\R^n)ω\inΩk-1(Rn)，容易验证 dω=α\\text{d}\\omega=\\alphadω=α.\nPoincare 引理只在 Rn\\R^nRn 上成立，对于一般的流形 XXX，\nΩ0(X)⟶dΩ1(X)⟶dΩ2(X)⟶d\dots\\Omega^0(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^1(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^2(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\cdots\nΩ0(X)⟶d​Ω1(X)⟶d​Ω2(X)⟶d​\dots\n问：还有没有 Poincare 引理成立？\n我们已经证明 {α=dω}\subseteq{dα=0}\\{\\alpha=\\text{d}\\omega\\}\\subseteq\\{\\text{d}\\alpha=0\\}{α=dω}\subseteq{dα=0}，定义：\nHk(X)={dα=0 , α\inΩk(X)}{α=dω , α\inΩk-1(X)}H^k(X)=\\frac{\\{\\text{d}\\alpha=0\\,,\\,\\alpha\\in\\Omega^k(X)\\}}{\\{\\alpha=\\text{d}\\omega\\,,\\,\\alpha\\in\\Omega^{k-1}(X)\\}}\nHk(X)={α=dω,α\inΩk-1(X)}{dα=0,α\inΩk(X)}​\n来描述两个集合的差异. 这就是 XXX 的 kkk 维上同调 (de Rham cohomology)\nH1(X)={XH^1(X)=\\{XH1(X)={X 上的无旋场}/{\\}/\\{}/{有势场}\\}}.\nH2(X)={XH^2(X)=\\{XH2(X)={X 上的无散场}/{\\}/\\{}/{旋度场}\\}}.\n提示\n推荐大家在暑假看一本书 From Calculus to Cohomology. 这是我们课程最好的一本后续读物.\nODE\nOrdinary Differential Equation.\n求解 ODE 实际上就是求 (所有) 的 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 使之满足一个有关 yyy 和 yyy 的高阶导数的方程.\nF(y(x),y(1)(x),\dots ,y(n)(x))=0 ,\forallx\inIF(y(x),y^{(1)}(x),\\cdots,y^{(n)}(x))=0\\,,\\quad\\forall x\\in I\nF(y(x),y(1)(x),\dots,y(n)(x))=0,\forallx\inI\n在 III 上求 ODE 的所有解 / 通解.\n方法或者目的是：去掉求导符号，积分 / 做 nnn 次积分.\n同学们大多数是物理背景，在物理中，我们会更关心演化的过程，一般而言我们得到的条件是\n{F(y,y(1),\dots ,y(n))=0y(x0)=y0y(1)(x0)=y1⋮y(n-1)(x0)=yn-1\\begin{cases}\nF(y,y^{(1)},\\cdots,y^{(n)})=0\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\\\\\ny^{(1)}(x_0)=y_1\\\\\n\\vdots\\\\\ny^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​F(y,y(1),\dots,y(n))=0y(x0​)=y0​y(1)(x0​)=y1​⋮y(n-1)(x0​)=yn-1​​\n这类问题被称为 Cauchy 问题 / ODE 初值问题.\n初等方法\n分离变量法解一阶 ODE：\n一般而言，一阶 ODE 是形如 F(x,y(x),y'(x))=0F(x,y(x),y'(x))=0F(x,y(x),y'(x))=0 的方程. 可分离变量的一阶 ODE 是其中可以改写为 y'(x)=f(x)g(y)y'(x)=f(x)g(y)y'(x)=f(x)g(y) 的一类.\n这一类方程可以写成：\ndydx=f(x)g(y)⟹dyg(y)=f(x)dx\\frac{\\text{d}y}{\\text{d}x}=f(x)g(y)\\Longrightarrow \\frac{\\text{d}y}{g(y)}=f(x)\\text{d}x\ndxdy​=f(x)g(y)⟹g(y)dy​=f(x)dx\n\n\n若可以找出 1/g(y)1/g(y)1/g(y) 的原函数 G(y)G(y)G(y)，有\nG(y)=\intdyg(y)G(y)=\\int\\frac{\\text{d}y}{g(y)}\nG(y)=\intg(y)dy​\n由链式法则，得到 G(y(x))=f(x)G(y(x))=f(x)G(y(x))=f(x) 的原函数，所以\nG(y(x))=\intf(x)dxG(y(x))=\\int f(x)\\text{d}x\nG(y(x))=\intf(x)dx\n上述说法太过于麻烦，形式化的改写是直接两边不定积分：\n\intdyg(y)=\intf(x)dx\\int\\frac{\\text{d}y}{g(y)}=\\int f(x)\\text{d}x\n\intg(y)dy​=\intf(x)dx\n对于 Cauchy 问题中的可分离变量一阶 ODE，多一个条件 y(x0)=y0y(x_0)=y_0y(x0​)=y0​，这时严格的解法是\n\inty0y(x)dyg(y)=y(x)=y\intx0xy'(x)dxg(y(x))=\intx0xf(x)dx\\int_{y_0}^{y(x)}\\frac{\\text{d}y}{g(y)}\\overset{y(x)=y}{=}\\int_{x_0}^x\\frac{y'(x)\\text{d}x}{g(y(x))}=\\int_{x_0}^xf(x)\\text{d}x\n\inty0​y(x)​g(y)dy​=y(x)=y\intx0​x​g(y(x))y'(x)dx​=\intx0​x​f(x)dx\n更加形式化的改写是直接分离变量，然后两边定积分：\n\inty0y(x)dyg(y)=\intx0xf(x)dx\\int_{y_0}^{y(x)}\\frac{\\text{d}y}{g(y)}=\\int_{x_0}^xf(x)\\text{d}x\n\inty0​y(x)​g(y)dy​=\intx0​x​f(x)dx\n一阶线性 ODE\n线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ 方程关于 y,y',\dots ,y(n)y,y',\\cdots,y^{(n)}y,y',\dots,y(n) 的线性式子.\n一阶线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y'(x)+P(x)y(x)=Q(x).\n齐次线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ Q(x)=0Q(x)=0Q(x)=0；反之则为非齐次的.\n解法是：\n(1) 解齐次 ODE：y'+P(x)y=0y'+P(x)y=0y'+P(x)y=0. 显然可以分离变量，得到\\\ndyy=-P(x)dx\\frac{\\text{d}y}{y}=-P(x)\\text{d}x\nydy​=-P(x)dx\n提示\n同学们，我们休息一会.\n一阵骚动\n同学们，要不这样，我们不休息了.\n上述分离变量积分得到\ny=Ce-\intx0xP(t)dty=Ce^{-\\int_{x_0}^xP(t)\\text{d}t}\ny=Ce-\intx0​x​P(t)dt\n(2) 对于一般的一阶线性 ODE：\n将齐次的解中的 CCC 从数变为函数 —— 常数变易法\n考虑：\ny(x)=C(x)e-\intx0xP(t)dty(x)=C(x)e^{-\\int_{x_0}^xP(t)\\text{d}t}\ny(x)=C(x)e-\intx0​x​P(t)dt\n代入，得到\nC'(x)e-\intx0xP+C(x)e-\intx0xP(-P)+PCe-\intx0x=QC'(x)e^{-\\int_{x_0}^xP}+C(x)e^{-\\int_{x_0}^xP}(-P)+PCe^{-\\int_{x_0}^x}=Q\nC'(x)e-\intx0​x​P+C(x)e-\intx0​x​P(-P)+PCe-\intx0​x​=Q\n后面两项抵消.\n提示\n“抵消” 的 “抵” 字下面有没有这一点？\n最终得到公式：\ny(x)=(\intQ(x)e\intP(t)dtdx+C)e-\intP(t)dty(x)=\\left(\\int Q(x)e^{\\int P(t)\\text{d}t}\\text{d}x+C\\right)e^{-\\int P(t)\\text{d}t}\ny(x)=(\intQ(x)e\intP(t)dtdx+C)e-\intP(t)dt\n这个公式 / 方法将作为基石，之后用到：\nBernoulli 方程、全微分方程 (积分因子法)、可降阶的 ODE、二阶 ODE (不显含 yyy / 不显含 xxx)\dots\n不显含时间的二阶微分方程\n形如如下的方程：\n{y''=H(y,y')y(x0)=y0y'(x0)=y1\\begin{cases}\ny''=H(y,y')\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\\\\\ny'(x_0)=y_1\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​y''=H(y,y')y(x0​)=y0​y'(x0​)=y1​​\n不显含 xxx. 求解的方法是做如下的映射：\nR⟶y-1I⟶y'R\\R\\overset{y^{-1}}{\\longrightarrow}I\\overset{y'}{\\longrightarrow}\\R\nR⟶y-1​I⟶y'​R\n其中 III 是 xxx 的定义域.\n为了确认反函数的存在，要使用反函数定理，若 y'(x0)=y1\neq0y'(x_0)=y_1\\neq0y'(x0​)=y1​\neq=0，则在 x0x_0x0​ 附近有反函数 y-1y^{-1}y-1. 因为我们觉得 \"yyy\" 既代表点又代表函数，容易引起歧义，所以将函数写成 φ(x)\\varphi(x)φ(x).\n令 P(y)=φ'(φ-1(y))P(y)=\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))P(y)=φ'(φ-1(y))\n现在的问题是：φ''(φ-1(y))=?\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))=?φ''(φ-1(y))=?\n链式法则，得到\ndPdy=φ''(φ-1(y))φ'(φ-1(y))\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=\\frac{\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))}{\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))}\ndydP​=φ'(φ-1(y))φ''(φ-1(y))​\n所以\nφ''(φ-1(y))=φ'(φ-1(y))dPdy=P(y)dPdy\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))=\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}\nφ''(φ-1(y))=φ'(φ-1(y))dydP​=P(y)dydP​\n于是可以求解方程，原来的方程写为\nP(y)dPdy=H(y,P(y))P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=H(y,P(y))\nP(y)dydP​=H(y,P(y))\n是一个关于 P(y)P(y)P(y) 的一阶 ODE.\n总结解法：\n令 P(y)=y'\circy-1P(y)=y'\\circ y^{-1}P(y)=y'\circy-1，则\ny''=P(y)dPdyy''=P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}\ny''=P(y)dydP​\n从而方程 y''=H(y,y')y''=H(y,y')y''=H(y,y') 变为：\n{P(y)dPdy=H(y,P(y))P(y0)=y1\\begin{cases}\nP(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=H(y,P(y))\\\\\\\\\nP(y_0)=y_1\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​P(y)dydP​=H(y,P(y))P(y0​)=y1​​\n一阶 ODE 短期解\n一阶 ODE 初值问题的短期解是存在且唯一的.\n{y'=f(x,y)y(x0)=y0⟺integral\intx0xy'(x)dx=\intx0xf(x,y(x))dx\\begin{cases}\ny'=f(x,y)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\n\\end{cases}\\quad\\overset{\\text{integral}}{\\Longleftrightarrow}\\quad\\int_{x_0}^xy'(x)\\text{d}x=\\int_{x_0}^xf(x,y(x))\\text{d}x\n⎩\n⎨\n⎧​y'=f(x,y)y(x0​)=y0​​⟺integral​\intx0​x​y'(x)dx=\intx0​x​f(x,y(x))dx\n变为一个这样的积分方程：\ny(x)=y0+\intx0xf(t,y(t))dty(x)=y_0+\\int_{x_0}^xf(t,y(t))\\text{d}t\ny(x)=y0​+\intx0​x​f(t,y(t))dt\n求解函数空间 M=C([a,b])M=C([a,b])M=C([a,b]) 上的解，积分方程 RHS 是 MMM 上的一个算子 T:M\toM\\text{T}:M\\to MT:M\toM，\forallφ\inM\\forall\\varphi\\in M\forallφ\inM 定义 Tφ\inM\\operatorname{T}\\varphi\\in MTφ\inM 为\n(Tφ)(x)=y0+\intx0xf(t,φ(t))dt ,\forallx\in[a,b](\\operatorname{T}\\varphi)(x)=y_0+\\int_{x_0}^xf(t,\\varphi(t))\\text{d}t\\,,\\quad\\forall x\\in[a,b]\n(Tφ)(x)=y0​+\intx0​x​f(t,φ(t))dt,\forallx\in[a,b]\n所以求解这个积分方程等价于找到 φ(x)\inM\\varphi(x)\\in Mφ(x)\inM 使得 φ(x)=(Tφ)(x)\\varphi(x)=(\\operatorname{T}\\varphi)(x)φ(x)=(Tφ)(x)，也就是找到 T\\operatorname{T}T 这个映射的不动点.\n用压缩映像定理：\nMMM 上的度量写成：\nd(h,g)=maxx\in[a,b]∣h(x)-g(x)∣ ,\forallh,g\inMd(h,g)=\\max_{x\\in[a,b]}|h(x)-g(x)|\\,,\\quad\\forall h,g\\in M\nd(h,g)=x\in[a,b]max​∣h(x)-g(x)∣,\forallh,g\inM\n易证这个度量完备.\nT\\operatorname{T}T 是否压缩？\nd(Tφ,Tψ)=maxx∣Tφ(x)-Tψ(x)∣=∣\intx0x(f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))dt)∣\leq\intx0x∣f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))∣dt\\begin{aligned}\n\u0026d(\\operatorname{T}\\varphi,\\operatorname{T}\\psi)\\\\\\\\\n\u0026=\\max_{x}|\\operatorname{T}\\varphi(x)-\\operatorname{T}\\psi(x)|\\\\\\\\\n\u0026=\\left|\\int_{x_0}^x(f(t,\\varphi(t))\\text{d}t-f(t,\\psi(t))\\text{d}t)\\right|\\\\\\\\\n\u0026\\leq\\int_{x_0}^x|f(t,\\varphi(t))\\text{d}t-f(t,\\psi(t))|\\text{d}t\n\\end{aligned}\n​d(Tφ,Tψ)=xmax​∣Tφ(x)-Tψ(x)∣=\n​\intx0​x​(f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))dt)\n​\leq\intx0​x​∣f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))∣dt​\n这里用到所谓 Lipshitz 条件：\n/Definition/\n称 fff 在 [a,b]\times[c,d]=I[a,b]\\times[c,d]=I[a,b]\times[c,d]=I 上是 Lipshitz 的，若 \exists\\exist\exists 常数 LLL 使得\n∣f(x,y1)-f(x,y2)∣\leqL∣y1-y2∣ ,\forall(x,y1),(x,y2)\inI|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\\leq L|y_1-y_2|\\,,\\quad\\forall(x,y_1),(x,y_2)\\in I\n∣f(x,y1​)-f(x,y2​)∣\leqL∣y1​-y2​∣,\forall(x,y1​),(x,y2​)\inI\n/Theorem/ (Picard - Lindelof 定理)\n设 fff 是连续的且 Lipshitz，则 \exists  h\u003e0\\exist\\,\\,h\u003e0\existsh\u003e0 (可能很小)，使得\n{y'=f(x,y)y(x0)=y0\\begin{cases}\ny'=f(x,y)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​y'=f(x,y)y(x0​)=y0​​\n在 [x0-h,x0+h][x_0-h,x_0+h][x0​-h,x0​+h] 上有唯一解 (短期解).\n高阶线性 ODE\n形如下面的 ODE：\ny(n)+an-1(x)y(n-1)+\dots+a0(x)y(x)=b(x)(*)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\\cdots+a_0(x)y(x)=b(x)\\tag{*}\ny(n)+an-1​(x)y(n-1)+\dots+a0​(x)y(x)=b(x)(*)\n/Theorem/ (线性 ODE 有唯一长期解)\n设 ai(x)\inC([a,b])a_i(x)\\in C([a,b])ai​(x)\inC([a,b])，\foralli\\forall i\foralli.\n则 Cauchy 问题：\n{(*)y(x0)=y0⋮y(n-1)(x0)=yn-1\\begin{cases}\n(*)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\n\\vdots\\\\\ny^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​(*)y(x0​)=y0​⋮y(n-1)(x0​)=yn-1​​\n有唯一解.\n其理由是线性的一阶 ODE 就已经可以写下唯一的长期解 (常数变易法).\n高阶线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ 一阶线性 ODE 的矢量值版本. 引入：\nv1(x)=y(x) ,v2(x)=y'(x) ,\dots ,vn(x)=y(n-1)(x)v_1(x)=y(x)\\,,\\quad v_2(x)=y'(x)\\,,\\quad\\cdots\\,,\\quad v_n(x)=y^{(n-1)}(x)\nv1​(x)=y(x),v2​(x)=y'(x),\dots,vn​(x)=y(n-1)(x)\n得到\n(v1⋮vn)'=(01\dots001\dots⋮0\dots01-a0-a1\dots-an)+(0⋮0v(x))\\begin{pmatrix}\nv_1\\\\\\vdots\\\\v_n\n\\end{pmatrix}'=\\begin{pmatrix}\n0\u00261\u0026\\cdots\\\\\n0\u00260\u00261\u0026\\cdots\\\\\n\\vdots\\\\\n0\u0026\\cdots\u0026\u00260\u00261\\\\\n-a_0\u0026-a_1\u0026\\cdots\u0026\u0026-a_n\n\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}\n0\\\\\\vdots\\\\0\\\\v(x)\n\\end{pmatrix}\n\n​v1​⋮vn​​\n​'=\n​00⋮0-a0​​10\dots-a1​​\dots1\dots​\dots0​1-an​​\n​+\n​0⋮0v(x)​\n​\n常系数高阶线性 ODE\n/Theorem/\n齐次线性常系数方程：\ny(n)+an-1y(n-1)+\dots+a0y=0y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_0y=0\ny(n)+an-1​y(n-1)+\dots+a0​y=0\n的全体解可由 nnn 个线性无关解 (基本解生成).\n提示\n实际上这个时候已经下课了.\n/Claim/\n非齐次方程：\ny(n)+an-1y(n-1)+\dots+a0y=by^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_0y=b\ny(n)+an-1​y(n-1)+\dots+a0​y=b\n的全体解 === 自身特解 + 齐次方程通解.\n我们的任务是证明：\n齐次方程，求解 nnn 个线性无关解；\n非齐次方程的特解.\n(1) 对于二阶齐次线性方程：\ny''+py'+q=0y''+py'+q=0\ny''+py'+q=0\n古人试出来：y(x)=eλty(x)=e^{\\lambda t}y(x)=eλt，代入得到特征方程 λ2+pλ+q=0\\lambda^2+p\\lambda+q=0λ2+pλ+q=0，特征根是 λ=α,β\\lambda=\\alpha,\\betaλ=α,β. 所以这时候的解是\nϕ1(x)=eαx ,ϕ2(x)=eβx\\phi_1(x)=e^{\\alpha x}\\,,\\quad\\phi_2(x)=e^{\\beta x}\nϕ1​(x)=eαx,ϕ2​(x)=eβx\n如果 α=β\\alpha=\\betaα=β 的特殊情况，则通解为 (由 L'Hopital 法则给出) xeαxxe^{\\alpha x}xeαx.\n此时这两个解的线性组合生成全部的解，所以是通解.\n(2) 对于二阶非齐次线性方程：\ny''+py'+q=by''+py'+q=b\ny''+py'+q=b\n要找到一个特解，我们使用常数变易法，将 c1ϕ1(x)+c2ϕ2(x)c_1\\phi_1(x)+c_2\\phi_2(x)c1​ϕ1​(x)+c2​ϕ2​(x) 中的两个常数 c1,c2c_1,c_2c1​,c2​ 变为函数 c1(x),c2(x)c_1(x),c_2(x)c1​(x),c2​(x)，但是这样会使得求导之后的项数越来越多，所以我们预先规定：\nc1'ϕ1+c2'ϕ2=0c_1'\\phi_1+c_2'\\phi_2=0c1'​ϕ1​+c2'​ϕ2​=0. 同时要求 c1'ϕ1'+c2'ϕ2'=b(x)c_1'\\phi_1'+c_2'\\phi_2'=b(x)c1'​ϕ1'​+c2'​ϕ2'​=b(x).\n也就得到线性的方程组：\n(ϕ1ϕ2ϕ1'ϕ2')(c1'c2')=(0b(x))\\begin{pmatrix}\n\\phi_1\u0026\\phi_2\\\\\\phi_1'\u0026\\phi_2'\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}\nc_1'\\\\c_2'\n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}\n0\\\\b(x)\n\\end{pmatrix}\n(ϕ1​ϕ1'​​ϕ2​ϕ2'​​)(c1'​c2'​​)=(0b(x)​)\n特解将得到：\n(c1'c2')=1ϕ1ϕ2'-ϕ2ϕ1'(ϕ2'-ϕ2-ϕ1'ϕ1)(0b(x))\\begin{pmatrix}\nc_1'\\\\c_2'\n\\end{pmatrix}=\\frac{1}{\\phi_1\\phi_2'-\\phi_2\\phi_1'}\\begin{pmatrix}\n\\phi_2'\u0026-\\phi_2\\\\-\\phi_1'\u0026\\phi_1\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}\n0\\\\b(x)\n\\end{pmatrix}\n(c1'​c2'​​)=ϕ1​ϕ2'​-ϕ2​ϕ1'​1​(ϕ2'​-ϕ1'​​-ϕ2​ϕ1​​)(0b(x)​)"])self.__next_f.push([1,"9:{\"metadata\":[[\"$\",\"title\",\"0\",{\"children\":\"Lesson 61 ODE 速通 | 菲兹克斯喵 | 柑橘 RSS 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z}\\\\\nP\u0026Q\u0026R\n\\end{pmatrix}=\\nabla\\times\\vec{F}\ncurl(P,Q,R)=det\n​i^\partialx\partial​P​j^​\partialy\partial​Q​k^\partialz\partial​R​\n​=\nabla\timesF\n\n我们可以把矢量场 F⃗\\vec{F}F\n 看作一个风速场，问：绕某个轴 n^\\hat{n}n^，旋转的快慢？\n这时我们取一个平面垂直于 n^\\hat{n}n^，轴与平面的交点记为中心点 PPP，可以计算某个探测质点在一圈之中受到风的做功：\n\int\partialSF⃗\cdotdr⃗=Stokes\iintS(\nabla\timesF⃗)\cdotdS⃗=\iintS(\nabla\timesF⃗)\cdotn^dS\\int_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\\overset{\\text{Stokes}}{=}\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\text{d}\\vec{S}=\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\hat{n}\\text{d}S\n\int\partialS​F\n\cdotdr\n=Stokes\iintS​(\nabla\timesF\n)\cdotdS\n=\iintS​(\nabla\timesF\n)\cdotn^dS\n因为想要探测这一点处的旋转快慢，所以取积分区域趋于这一点的极限，这样 “测量” 得更加准确. 于是有\nlimr\to01area(S)\int\partialSF⃗\cdotdr⃗=limr\to01area(S)\iintS(curl(F⃗)\cdotn^)dS=limr\to0curl(F⃗)Q\cdotn^=(curlF⃗)(P⃗)\cdotn^\\begin{aligned}\n\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{\\text{area}(S)}\\int_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\u0026=\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{\\text{area}(S)}\\iint_S(\\text{curl}(\\vec{F})\\cdot\\hat{n})\\text{d}S\\\\\\\\\n\u0026=\\lim_{r\\to0}\\text{curl}(\\vec{F})_{Q}\\cdot\\hat{n}\\\\\\\\\n\u0026=(\\operatorname{curl}\\vec{F})(\\vec{P})\\cdot\\hat{n}\n\\end{aligned}\nr\to0lim​area(S)1​\int\partialS​F\n\cdotdr\n​=r\to0lim​area(S)1​\iintS​(curl(F\n)\cdotn^)dS=r\to0lim​curl(F\n)Q​\cdotn^=(curlF\n)(P\n)\cdotn^​\n这说明，某点处的旋转快慢程度可以用该点处旋度向旋转轴的的投影来描述.\n总结一下我们目前的场论知识：\n{scalar field A}⟶grad{vector field X}⟶curl{vector field}⟶div{scalar field}Ω0(R3)⟶dΩ1(R3)⟶dΩ2(R3)⟶dΩ3(R3)\\{\\text{scalar field }A\\}\\overset{\\text{grad}}{\\longrightarrow}\\{\\text{vector field }\\mathscr{X}\\}\\overset{\\text{curl}}{\\longrightarrow}\\{\\text{vector field}\\}\\overset{\\text{div}}{\\longrightarrow}\\{\\text{scalar field}\\}\\\\\\newline\n\\Omega^0(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^1(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^2(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^3(\\R^3)\n{scalar field A}⟶grad​{vector field X}⟶curl​{vector field}⟶div​{scalar field}Ω0(R3)⟶d​Ω1(R3)⟶d​Ω2(R3)⟶d​Ω3(R3)\n物理上有一些常用的命题：就是上述任意两步连续进行都会变成 000.\n/Claim/\ncurl(gradφ)=0 ,div(curlv)=0\\operatorname{curl}(\\operatorname{grad}\\varphi)=0\\,,\\quad\\operatorname{div}(\\operatorname{curl}v)=0\ncurl(gradφ)=0,div(curlv)=0\n梯度场无旋，旋度场无散.\n上述图表是交换的，如下：\n\n/Claim/\nd\circd\\text{d}\\circ\\text{d}d\circd 恒为零.\n/Proof/\nd\circd(fdxi1\dotsdxik)=d(\sumj\partialf\partialxjdxjdxi1\dotsdxik)=\sumj\sumt\partial\partialxt(\partialf\partialxj)dxtdxjdxi1\dotsdxik\\begin{aligned}\n\u0026\\text{d}\\circ\\text{d}(f\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k})\\\\\\\\\n\u0026=\\text{d}\\left(\\sum_{j}\\frac{\\partial f}{\\partial x_j}\\text{d}x_j\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}\\right)\\\\\\\\\n\u0026=\\sum_j\\sum_t\\frac{\\partial}{\\partial x_t}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_j}\\right)\\text{d}x_t\\text{d}x_j\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}\n\\end{aligned}\n​d\circd(fdxi1​​\dotsdxik​​)=d(j\sum​\partialxj​\partialf​dxj​dxi1​​\dotsdxik​​)=j\sum​t\sum​\partialxt​\partial​(\partialxj​\partialf​)dxt​dxj​dxi1​​\dotsdxik​​​\n计算 dxpdxqdxi1\dotsdxik\\text{d}x_p\\text{d}x_q\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}dxp​dxq​dxi1​​\dotsdxik​​ 项的系数：\n\partial\partialxp(\partialf\partialxq)-\partial\partialxq(\partialf\partialxp)=0\\frac{\\partial}{\\partial x_p}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_q}\\right)-\\frac{\\partial}{\\partial x_q}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_p}\\right)=0\n\partialxp​\partial​(\partialxq​\partialf​)-\partialxq​\partial​(\partialxp​\partialf​)=0\n所以上式恒为零.\n改述命题为：若 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω，则 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0. 我们想要问这个条件是否是充要条件，也就是是否有：若 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0，则 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω？\n/Lemma/ (Poincare 引理)\n在 Rn\\R^nRn 上成立，设 α\inΩk(Rn)\\alpha\\in\\Omega^k(\\R^n)α\inΩk(Rn) 满足 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0，则 \exists  ω\inΩk-1(Rn)\\exist\\,\\,\\omega\\in\\Omega^{k-1}(\\R^n)\existsω\inΩk-1(Rn) 使得 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω.\nn=3n=3n=3 时，物理上我们有这样的说法：\nk=1k=1k=1，R3\\R^3R3 上的无旋场一定有势 (若 \nabla\timesA⃗=0⟹\exists  A⃗=\nablaφ\\nabla\\times\\vec{A}=0\\Longrightarrow\\exist\\,\\,\\vec{A}=\\nabla\\varphi\nabla\timesA\n=0⟹\existsA\n=\nablaφ)；\nk=2k=2k=2，R3\\R^3R3 上的无散场来自旋度场 (若 \nabla\cdotB⃗=0⟹\exists  A⃗\\nabla\\cdot\\vec{B}=0\\Longrightarrow\\exist\\,\\,\\vec{A}\nabla\cdotB\n=0⟹\existsA\n 使得 B⃗=\nabla\timesA⃗\\vec{B}=\\nabla\\times\\vec{A}B\n=\nabla\timesA\n).\n我们不仔细证明这一结论，因为一般情况比我们想象中要难证明很多. 但是可以先尝试证明 n=3n=3n=3，k=1k=1k=1 的情况：\n/Proof/\n设 A⃗\\vec{A}A\n 无旋，来定义势能 φ\\varphiφ. 定义：\nφ(u⃗)-φ(u⃗0)=\intL⃗A⃗\cdotdr⃗\\varphi(\\vec{u})-\\varphi(\\vec{u}_0)=\\int_{\\vec{L}}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\nφ(u\n)-φ(u\n0​)=\intL\n​A\n\cdotdr\n\n验证定义与 L⃗\\vec{L}L\n 无关：取简单闭曲线 C=L⃗-L⃗'C=\\vec{L}-\\vec{L}'C=L\n-L\n' (不妨假设 LLL \u0026 L'L'L' 无自交点)\n由 topology，可以证明任意简单闭曲线都能表示为某个曲面的边界. 则有\n\intCA⃗\cdotdr⃗=\iintS(\nabla\timesA⃗)\cdotdS⃗=0\\int_C\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}=\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{A})\\cdot\\text{d}\\vec{S}=0\n\intC​A\n\cdotdr\n=\iintS​(\nabla\timesA\n)\cdotdS\n=0\n(A⃗\\vec{A}A\n 无旋) 所以\n\intL⃗A⃗\cdotdr⃗-\intL⃗'A⃗\cdotdr⃗=0\\int_{\\vec{L}}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}-\\int_{\\vec{L}'}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}=0\n\intL\n​A\n\cdotdr\n-\intL\n'​A\n\cdotdr\n=0\n得证.\n对于 k=2k=2k=2 的部分，Poincare 手动构造出了旋度场使得 \nabla\timesA⃗=B⃗\\nabla\\times\\vec{A}=\\vec{B}\nabla\timesA\n=B\n：\n/Proof/\n如下构造：\nA1(x,y,z)=\int01[zB2(tx,ty,tz)-yB3(tx,ty,tz)]tdtA2(x,y,z)=\int01[xB3(tx,ty,tz)-zB1(tx,ty,tz)]tdtA3(x,y,z)=\int01[yB1(tx,ty,tz)-xB2(tx,ty,tz)]tdt\\begin{aligned}\nA_1(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[zB_2(tx,ty,tz)-yB_3(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\\\\\nA_2(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[xB_3(tx,ty,tz)-zB_1(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\\\\\nA_3(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[yB_1(tx,ty,tz)-xB_2(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\n\\end{aligned}\nA1​(x,y,z)A2​(x,y,z)A3​(x,y,z)​=\int01​[zB2​(tx,ty,tz)-yB3​(tx,ty,tz)]tdt=\int01​[xB3​(tx,ty,tz)-zB1​(tx,ty,tz)]tdt=\int01​[yB1​(tx,ty,tz)-xB2​(tx,ty,tz)]tdt​\n只需要证明 \nabla\timesA⃗=B⃗\\nabla\\times\\vec{A}=\\vec{B}\nabla\timesA\n=B\n. 我们只证明如下式子：\nB1(x,y,z)=\partial\partialyA3-\partial\partialzA2B_1(x,y,z)=\\frac{\\partial}{\\partial y}A_3-\\frac{\\partial}{\\partial z}A_2\nB1​(x,y,z)=\partialy\partial​A3​-\partialz\partial​A2​\n我们在这里需要知道含参积分的求导：\n对于含参积分\nF(x)=\intcdf(x,y)dyF(x)=\\int_c^df(x,y)\\text{d}y\nF(x)=\intcd​f(x,y)dy\n/Theorem/\n若 fff 是连续二元函数 ⟹\\Longrightarrow⟹ FFF 连续.\n进一步，若 \partialf\partialx\\frac{\\partial f}{\\partial x}\partialx\partialf​ 也连续，则\nF'(x)=\intcd\partialf\partialx(x,y)dyF'(x)=\\int_c^d\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\\text{d}y\nF'(x)=\intcd​\partialx\partialf​(x,y)dy\n提示\n也就是 “积分里面求微分”.\nFeynman 声称他在中学时知道了这个 “积分里求微分” 的方法，并且他吹嘘说这个方法让他得了 Nobel Prize，因为在做 QED 的路径积分时要非常经常地使用这一方法.\n\partialA3\partialy=\partial\partialy\int01(yB1-xB2)tdt=\int01[B1(tx,ty,tz)+t\partialB1\partialy(tx,ty,tz)t-x\partialB2\partialy(tx,ty,tz)t]tdt\\begin{aligned}\n\u0026\\frac{\\partial A_3}{\\partial y}\\\\\u0026=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\int_0^1(yB_1-xB_2)t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[B_1(tx,ty,tz)+t\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}(tx,ty,tz)t-x\\frac{\\partial B_2}{\\partial y}(tx,ty,tz)t\\right]t\\text{d}t\n\\end{aligned}\n​\partialy\partialA3​​=\partialy\partial​\int01​(yB1​-xB2​)tdt=\int01​[B1​(tx,ty,tz)+t\partialy\partialB1​​(tx,ty,tz)t-x\partialy\partialB2​​(tx,ty,tz)t]tdt​\n另一项同理，相减得到\n\partialA3\partialy-\partialA2\partialz=\int01[B1+y\partialB1\partialyt-x\partialB2\partialyt-x\partialB1\partialzt+B1+z\partialB1\partialzt]tdt=\int01[2B1+y\partialB1\partialyt+x\partialB1\partialxt+z\partialB1\partialzt]tdt=\int01[2B1(tx,ty,tz)tdt+(dB1(tx,ty,tz)dt)t2dt]=\int012B1(tx,ty,tz)tdt+B1(tx,ty,tz)t2∣01-\int01B1(tx,ty,tz)\cdot2tdt=B1(x,y,z)\\begin{aligned}\n\u0026\\frac{\\partial A_3}{\\partial y}-\\frac{\\partial A_2}{\\partial z}\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[B_1+y\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}t-x\\frac{\\partial B_2}{\\partial y}t-x\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t+B_1+z\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t\\right]t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[2B_1+y\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}t+x\\frac{\\partial B_1}{\\partial x}t+z\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t\\right]t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[2B_1(tx,ty,tz)t\\text{d}t+\\left(\\frac{\\text{d}B_1(tx,ty,tz)}{\\text{d}t}\\right)t^2\\text{d}t\\right]\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^12B_1(tx,ty,tz)t\\text{d}t+B_1(tx,ty,tz)t^2|^1_0-\\int_0^1B_1(tx,ty,tz)\\cdot2t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=B_1(x,y,z)\n\\end{aligned}\n​\partialy\partialA3​​-\partialz\partialA2​​=\int01​[B1​+y\partialy\partialB1​​t-x\partialy\partialB2​​t-x\partialz\partialB1​​t+B1​+z\partialz\partialB1​​t]tdt=\int01​[2B1​+y\partialy\partialB1​​t+x\partialx\partialB1​​t+z\partialz\partialB1​​t]tdt=\int01​[2B1​(tx,ty,tz)tdt+(dtdB1​(tx,ty,tz)​)t2dt]=\int01​2B1​(tx,ty,tz)tdt+B1​(tx,ty,tz)t2∣01​-\int01​B1​(tx,ty,tz)\cdot2tdt=B1​(x,y,z)​\n得证.\n/Remark/\n这是如何构造出来的？\n相当于构造 Φ:Rn\times[0,1]\toRn\\Phi:\\R^n\\times[0,1]\\to\\R^nΦ:Rn\times[0,1]\toRn，得到 Φ(x1,\dots ,xn,t)=(tx1,\dots ,txn)\\Phi(x_1,\\cdots,x_n,t)=(tx_1,\\cdots,tx_n)Φ(x1​,\dots,xn​,t)=(tx1​,\dots,txn​).\nPoincare 令：\n\int01(Φ*α)=ω\\int_0^1(\\Phi^*\\alpha)=\\omega\n\int01​(Φ*α)=ω\n则 ω\inΩk-1(Rn)\\omega\\in\\Omega^{k-1}(\\R^n)ω\inΩk-1(Rn)，容易验证 dω=α\\text{d}\\omega=\\alphadω=α.\nPoincare 引理只在 Rn\\R^nRn 上成立，对于一般的流形 XXX，\nΩ0(X)⟶dΩ1(X)⟶dΩ2(X)⟶d\dots\\Omega^0(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^1(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^2(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\cdots\nΩ0(X)⟶d​Ω1(X)⟶d​Ω2(X)⟶d​\dots\n问：还有没有 Poincare 引理成立？\n我们已经证明 {α=dω}\subseteq{dα=0}\\{\\alpha=\\text{d}\\omega\\}\\subseteq\\{\\text{d}\\alpha=0\\}{α=dω}\subseteq{dα=0}，定义：\nHk(X)={dα=0 , α\inΩk(X)}{α=dω , α\inΩk-1(X)}H^k(X)=\\frac{\\{\\text{d}\\alpha=0\\,,\\,\\alpha\\in\\Omega^k(X)\\}}{\\{\\alpha=\\text{d}\\omega\\,,\\,\\alpha\\in\\Omega^{k-1}(X)\\}}\nHk(X)={α=dω,α\inΩk-1(X)}{dα=0,α\inΩk(X)}​\n来描述两个集合的差异. 这就是 XXX 的 kkk 维上同调 (de Rham cohomology)\nH1(X)={XH^1(X)=\\{XH1(X)={X 上的无旋场}/{\\}/\\{}/{有势场}\\}}.\nH2(X)={XH^2(X)=\\{XH2(X)={X 上的无散场}/{\\}/\\{}/{旋度场}\\}}.\n提示\n推荐大家在暑假看一本书 From Calculus to Cohomology. 这是我们课程最好的一本后续读物.\nODE\nOrdinary Differential Equation.\n求解 ODE 实际上就是求 (所有) 的 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 使之满足一个有关 yyy 和 yyy 的高阶导数的方程.\nF(y(x),y(1)(x),\dots ,y(n)(x))=0 ,\forallx\inIF(y(x),y^{(1)}(x),\\cdots,y^{(n)}(x))=0\\,,\\quad\\forall x\\in I\nF(y(x),y(1)(x),\dots,y(n)(x))=0,\forallx\inI\n在 III 上求 ODE 的所有解 / 通解.\n方法或者目的是：去掉求导符号，积分 / 做 nnn 次积分.\n同学们大多数是物理背景，在物理中，我们会更关心演化的过程，一般而言我们得到的条件是\n{F(y,y(1),\dots ,y(n))=0y(x0)=y0y(1)(x0)=y1⋮y(n-1)(x0)=yn-1\\begin{cases}\nF(y,y^{(1)},\\cdots,y^{(n)})=0\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\\\\\ny^{(1)}(x_0)=y_1\\\\\n\\vdots\\\\\ny^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​F(y,y(1),\dots,y(n))=0y(x0​)=y0​y(1)(x0​)=y1​⋮y(n-1)(x0​)=yn-1​​\n这类问题被称为 Cauchy 问题 / ODE 初值问题.\n初等方法\n分离变量法解一阶 ODE：\n一般而言，一阶 ODE 是形如 F(x,y(x),y'(x))=0F(x,y(x),y'(x))=0F(x,y(x),y'(x))=0 的方程. 可分离变量的一阶 ODE 是其中可以改写为 y'(x)=f(x)g(y)y'(x)=f(x)g(y)y'(x)=f(x)g(y) 的一类.\n这一类方程可以写成：\ndydx=f(x)g(y)⟹dyg(y)=f(x)dx\\frac{\\text{d}y}{\\text{d}x}=f(x)g(y)\\Longrightarrow \\frac{\\text{d}y}{g(y)}=f(x)\\text{d}x\ndxdy​=f(x)g(y)⟹g(y)dy​=f(x)dx\n\n\n若可以找出 1/g(y)1/g(y)1/g(y) 的原函数 G(y)G(y)G(y)，有\nG(y)=\intdyg(y)G(y)=\\int\\frac{\\text{d}y}{g(y)}\nG(y)=\intg(y)dy​\n由链式法则，得到 G(y(x))=f(x)G(y(x))=f(x)G(y(x))=f(x) 的原函数，所以\nG(y(x))=\intf(x)dxG(y(x))=\\int f(x)\\text{d}x\nG(y(x))=\intf(x)dx\n上述说法太过于麻烦，形式化的改写是直接两边不定积分：\n\intdyg(y)=\intf(x)dx\\int\\frac{\\text{d}y}{g(y)}=\\int f(x)\\text{d}x\n\intg(y)dy​=\intf(x)dx\n对于 Cauchy 问题中的可分离变量一阶 ODE，多一个条件 y(x0)=y0y(x_0)=y_0y(x0​)=y0​，这时严格的解法是\n\inty0y(x)dyg(y)=y(x)=y\intx0xy'(x)dxg(y(x))=\intx0xf(x)dx\\int_{y_0}^{y(x)}\\frac{\\text{d}y}{g(y)}\\overset{y(x)=y}{=}\\int_{x_0}^x\\frac{y'(x)\\text{d}x}{g(y(x))}=\\int_{x_0}^xf(x)\\text{d}x\n\inty0​y(x)​g(y)dy​=y(x)=y\intx0​x​g(y(x))y'(x)dx​=\intx0​x​f(x)dx\n更加形式化的改写是直接分离变量，然后两边定积分：\n\inty0y(x)dyg(y)=\intx0xf(x)dx\\int_{y_0}^{y(x)}\\frac{\\text{d}y}{g(y)}=\\int_{x_0}^xf(x)\\text{d}x\n\inty0​y(x)​g(y)dy​=\intx0​x​f(x)dx\n一阶线性 ODE\n线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ 方程关于 y,y',\dots ,y(n)y,y',\\cdots,y^{(n)}y,y',\dots,y(n) 的线性式子.\n一阶线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y'(x)+P(x)y(x)=Q(x).\n齐次线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ Q(x)=0Q(x)=0Q(x)=0；反之则为非齐次的.\n解法是：\n(1) 解齐次 ODE：y'+P(x)y=0y'+P(x)y=0y'+P(x)y=0. 显然可以分离变量，得到\\\ndyy=-P(x)dx\\frac{\\text{d}y}{y}=-P(x)\\text{d}x\nydy​=-P(x)dx\n提示\n同学们，我们休息一会.\n一阵骚动\n同学们，要不这样，我们不休息了.\n上述分离变量积分得到\ny=Ce-\intx0xP(t)dty=Ce^{-\\int_{x_0}^xP(t)\\text{d}t}\ny=Ce-\intx0​x​P(t)dt\n(2) 对于一般的一阶线性 ODE：\n将齐次的解中的 CCC 从数变为函数 —— 常数变易法\n考虑：\ny(x)=C(x)e-\intx0xP(t)dty(x)=C(x)e^{-\\int_{x_0}^xP(t)\\text{d}t}\ny(x)=C(x)e-\intx0​x​P(t)dt\n代入，得到\nC'(x)e-\intx0xP+C(x)e-\intx0xP(-P)+PCe-\intx0x=QC'(x)e^{-\\int_{x_0}^xP}+C(x)e^{-\\int_{x_0}^xP}(-P)+PCe^{-\\int_{x_0}^x}=Q\nC'(x)e-\intx0​x​P+C(x)e-\intx0​x​P(-P)+PCe-\intx0​x​=Q\n后面两项抵消.\n提示\n“抵消” 的 “抵” 字下面有没有这一点？\n最终得到公式：\ny(x)=(\intQ(x)e\intP(t)dtdx+C)e-\intP(t)dty(x)=\\left(\\int Q(x)e^{\\int P(t)\\text{d}t}\\text{d}x+C\\right)e^{-\\int P(t)\\text{d}t}\ny(x)=(\intQ(x)e\intP(t)dtdx+C)e-\intP(t)dt\n这个公式 / 方法将作为基石，之后用到：\nBernoulli 方程、全微分方程 (积分因子法)、可降阶的 ODE、二阶 ODE (不显含 yyy / 不显含 xxx)\dots\n不显含时间的二阶微分方程\n形如如下的方程：\n{y''=H(y,y')y(x0)=y0y'(x0)=y1\\begin{cases}\ny''=H(y,y')\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\\\\\ny'(x_0)=y_1\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​y''=H(y,y')y(x0​)=y0​y'(x0​)=y1​​\n不显含 xxx. 求解的方法是做如下的映射：\nR⟶y-1I⟶y'R\\R\\overset{y^{-1}}{\\longrightarrow}I\\overset{y'}{\\longrightarrow}\\R\nR⟶y-1​I⟶y'​R\n其中 III 是 xxx 的定义域.\n为了确认反函数的存在，要使用反函数定理，若 y'(x0)=y1\neq0y'(x_0)=y_1\\neq0y'(x0​)=y1​\neq=0，则在 x0x_0x0​ 附近有反函数 y-1y^{-1}y-1. 因为我们觉得 \"yyy\" 既代表点又代表函数，容易引起歧义，所以将函数写成 φ(x)\\varphi(x)φ(x).\n令 P(y)=φ'(φ-1(y))P(y)=\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))P(y)=φ'(φ-1(y))\n现在的问题是：φ''(φ-1(y))=?\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))=?φ''(φ-1(y))=?\n链式法则，得到\ndPdy=φ''(φ-1(y))φ'(φ-1(y))\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=\\frac{\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))}{\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))}\ndydP​=φ'(φ-1(y))φ''(φ-1(y))​\n所以\nφ''(φ-1(y))=φ'(φ-1(y))dPdy=P(y)dPdy\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))=\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}\nφ''(φ-1(y))=φ'(φ-1(y))dydP​=P(y)dydP​\n于是可以求解方程，原来的方程写为\nP(y)dPdy=H(y,P(y))P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=H(y,P(y))\nP(y)dydP​=H(y,P(y))\n是一个关于 P(y)P(y)P(y) 的一阶 ODE.\n总结解法：\n令 P(y)=y'\circy-1P(y)=y'\\circ y^{-1}P(y)=y'\circy-1，则\ny''=P(y)dPdyy''=P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}\ny''=P(y)dydP​\n从而方程 y''=H(y,y')y''=H(y,y')y''=H(y,y') 变为：\n{P(y)dPdy=H(y,P(y))P(y0)=y1\\begin{cases}\nP(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=H(y,P(y))\\\\\\\\\nP(y_0)=y_1\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​P(y)dydP​=H(y,P(y))P(y0​)=y1​​\n一阶 ODE 短期解\n一阶 ODE 初值问题的短期解是存在且唯一的.\n{y'=f(x,y)y(x0)=y0⟺integral\intx0xy'(x)dx=\intx0xf(x,y(x))dx\\begin{cases}\ny'=f(x,y)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\n\\end{cases}\\quad\\overset{\\text{integral}}{\\Longleftrightarrow}\\quad\\int_{x_0}^xy'(x)\\text{d}x=\\int_{x_0}^xf(x,y(x))\\text{d}x\n⎩\n⎨\n⎧​y'=f(x,y)y(x0​)=y0​​⟺integral​\intx0​x​y'(x)dx=\intx0​x​f(x,y(x))dx\n变为一个这样的积分方程：\ny(x)=y0+\intx0xf(t,y(t))dty(x)=y_0+\\int_{x_0}^xf(t,y(t))\\text{d}t\ny(x)=y0​+\intx0​x​f(t,y(t))dt\n求解函数空间 M=C([a,b])M=C([a,b])M=C([a,b]) 上的解，积分方程 RHS 是 MMM 上的一个算子 T:M\toM\\text{T}:M\\to MT:M\toM，\forallφ\inM\\forall\\varphi\\in M\forallφ\inM 定义 Tφ\inM\\operatorname{T}\\varphi\\in MTφ\inM 为\n(Tφ)(x)=y0+\intx0xf(t,φ(t))dt ,\forallx\in[a,b](\\operatorname{T}\\varphi)(x)=y_0+\\int_{x_0}^xf(t,\\varphi(t))\\text{d}t\\,,\\quad\\forall x\\in[a,b]\n(Tφ)(x)=y0​+\intx0​x​f(t,φ(t))dt,\forallx\in[a,b]\n所以求解这个积分方程等价于找到 φ(x)\inM\\varphi(x)\\in Mφ(x)\inM 使得 φ(x)=(Tφ)(x)\\varphi(x)=(\\operatorname{T}\\varphi)(x)φ(x)=(Tφ)(x)，也就是找到 T\\operatorname{T}T 这个映射的不动点.\n用压缩映像定理：\nMMM 上的度量写成：\nd(h,g)=maxx\in[a,b]∣h(x)-g(x)∣ ,\forallh,g\inMd(h,g)=\\max_{x\\in[a,b]}|h(x)-g(x)|\\,,\\quad\\forall h,g\\in M\nd(h,g)=x\in[a,b]max​∣h(x)-g(x)∣,\forallh,g\inM\n易证这个度量完备.\nT\\operatorname{T}T 是否压缩？\nd(Tφ,Tψ)=maxx∣Tφ(x)-Tψ(x)∣=∣\intx0x(f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))dt)∣\leq\intx0x∣f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))∣dt\\begin{aligned}\n\u0026d(\\operatorname{T}\\varphi,\\operatorname{T}\\psi)\\\\\\\\\n\u0026=\\max_{x}|\\operatorname{T}\\varphi(x)-\\operatorname{T}\\psi(x)|\\\\\\\\\n\u0026=\\left|\\int_{x_0}^x(f(t,\\varphi(t))\\text{d}t-f(t,\\psi(t))\\text{d}t)\\right|\\\\\\\\\n\u0026\\leq\\int_{x_0}^x|f(t,\\varphi(t))\\text{d}t-f(t,\\psi(t))|\\text{d}t\n\\end{aligned}\n​d(Tφ,Tψ)=xmax​∣Tφ(x)-Tψ(x)∣=\n​\intx0​x​(f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))dt)\n​\leq\intx0​x​∣f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))∣dt​\n这里用到所谓 Lipshitz 条件：\n/Definition/\n称 fff 在 [a,b]\times[c,d]=I[a,b]\\times[c,d]=I[a,b]\times[c,d]=I 上是 Lipshitz 的，若 \exists\\exist\exists 常数 LLL 使得\n∣f(x,y1)-f(x,y2)∣\leqL∣y1-y2∣ ,\forall(x,y1),(x,y2)\inI|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\\leq L|y_1-y_2|\\,,\\quad\\forall(x,y_1),(x,y_2)\\in I\n∣f(x,y1​)-f(x,y2​)∣\leqL∣y1​-y2​∣,\forall(x,y1​),(x,y2​)\inI\n/Theorem/ (Picard - Lindelof 定理)\n设 fff 是连续的且 Lipshitz，则 \exists  h\u003e0\\exist\\,\\,h\u003e0\existsh\u003e0 (可能很小)，使得\n{y'=f(x,y)y(x0)=y0\\begin{cases}\ny'=f(x,y)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​y'=f(x,y)y(x0​)=y0​​\n在 [x0-h,x0+h][x_0-h,x_0+h][x0​-h,x0​+h] 上有唯一解 (短期解).\n高阶线性 ODE\n形如下面的 ODE：\ny(n)+an-1(x)y(n-1)+\dots+a0(x)y(x)=b(x)(*)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\\cdots+a_0(x)y(x)=b(x)\\tag{*}\ny(n)+an-1​(x)y(n-1)+\dots+a0​(x)y(x)=b(x)(*)\n/Theorem/ (线性 ODE 有唯一长期解)\n设 ai(x)\inC([a,b])a_i(x)\\in C([a,b])ai​(x)\inC([a,b])，\foralli\\forall i\foralli.\n则 Cauchy 问题：\n{(*)y(x0)=y0⋮y(n-1)(x0)=yn-1\\begin{cases}\n(*)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\n\\vdots\\\\\ny^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​(*)y(x0​)=y0​⋮y(n-1)(x0​)=yn-1​​\n有唯一解.\n其理由是线性的一阶 ODE 就已经可以写下唯一的长期解 (常数变易法).\n高阶线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ 一阶线性 ODE 的矢量值版本. 引入：\nv1(x)=y(x) ,v2(x)=y'(x) ,\dots ,vn(x)=y(n-1)(x)v_1(x)=y(x)\\,,\\quad v_2(x)=y'(x)\\,,\\quad\\cdots\\,,\\quad v_n(x)=y^{(n-1)}(x)\nv1​(x)=y(x),v2​(x)=y'(x),\dots,vn​(x)=y(n-1)(x)\n得到\n(v1⋮vn)'=(01\dots001\dots⋮0\dots01-a0-a1\dots-an)+(0⋮0v(x))\\begin{pmatrix}\nv_1\\\\\\vdots\\\\v_n\n\\end{pmatrix}'=\\begin{pmatrix}\n0\u00261\u0026\\cdots\\\\\n0\u00260\u00261\u0026\\cdots\\\\\n\\vdots\\\\\n0\u0026\\cdots\u0026\u00260\u00261\\\\\n-a_0\u0026-a_1\u0026\\cdots\u0026\u0026-a_n\n\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}\n0\\\\\\vdots\\\\0\\\\v(x)\n\\end{pmatrix}\n\n​v1​⋮vn​​\n​'=\n​00⋮0-a0​​10\dots-a1​​\dots1\dots​\dots0​1-an​​\n​+\n​0⋮0v(x)​\n​\n常系数高阶线性 ODE\n/Theorem/\n齐次线性常系数方程：\ny(n)+an-1y(n-1)+\dots+a0y=0y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_0y=0\ny(n)+an-1​y(n-1)+\dots+a0​y=0\n的全体解可由 nnn 个线性无关解 (基本解生成).\n提示\n实际上这个时候已经下课了.\n/Claim/\n非齐次方程：\ny(n)+an-1y(n-1)+\dots+a0y=by^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_0y=b\ny(n)+an-1​y(n-1)+\dots+a0​y=b\n的全体解 === 自身特解 + 齐次方程通解.\n我们的任务是证明：\n齐次方程，求解 nnn 个线性无关解；\n非齐次方程的特解.\n(1) 对于二阶齐次线性方程：\ny''+py'+q=0y''+py'+q=0\ny''+py'+q=0\n古人试出来：y(x)=eλty(x)=e^{\\lambda t}y(x)=eλt，代入得到特征方程 λ2+pλ+q=0\\lambda^2+p\\lambda+q=0λ2+pλ+q=0，特征根是 λ=α,β\\lambda=\\alpha,\\betaλ=α,β. 所以这时候的解是\nϕ1(x)=eαx ,ϕ2(x)=eβx\\phi_1(x)=e^{\\alpha x}\\,,\\quad\\phi_2(x)=e^{\\beta x}\nϕ1​(x)=eαx,ϕ2​(x)=eβx\n如果 α=β\\alpha=\\betaα=β 的特殊情况，则通解为 (由 L'Hopital 法则给出) xeαxxe^{\\alpha x}xeαx.\n此时这两个解的线性组合生成全部的解，所以是通解.\n(2) 对于二阶非齐次线性方程：\ny''+py'+q=by''+py'+q=b\ny''+py'+q=b\n要找到一个特解，我们使用常数变易法，将 c1ϕ1(x)+c2ϕ2(x)c_1\\phi_1(x)+c_2\\phi_2(x)c1​ϕ1​(x)+c2​ϕ2​(x) 中的两个常数 c1,c2c_1,c_2c1​,c2​ 变为函数 c1(x),c2(x)c_1(x),c_2(x)c1​(x),c2​(x)，但是这样会使得求导之后的项数越来越多，所以我们预先规定：\nc1'ϕ1+c2'ϕ2=0c_1'\\phi_1+c_2'\\phi_2=0c1'​ϕ1​+c2'​ϕ2​=0. 同时要求 c1'ϕ1'+c2'ϕ2'=b(x)c_1'\\phi_1'+c_2'\\phi_2'=b(x)c1'​ϕ1'​+c2'​ϕ2'​=b(x).\n也就得到线性的方程组：\n(ϕ1ϕ2ϕ1'ϕ2')(c1'c2')=(0b(x))\\begin{pmatrix}\n\\phi_1\u0026\\phi_2\\\\\\phi_1'\u0026\\phi_2'\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}\nc_1'\\\\c_2'\n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}\n0\\\\b(x)\n\\end{pmatrix}\n(ϕ1​ϕ1'​​ϕ2​ϕ2'​​)(c1'​c2'​​)=(0b(x)​)\n特解将得到：\n(c1'c2')=1ϕ1ϕ2'-ϕ2ϕ1'(ϕ2'-ϕ2-ϕ1'ϕ1)(0b(x))\\begin{pmatrix}\nc_1'\\\\c_2'\n\\end{pmatrix}=\\frac{1}{\\phi_1\\phi_2'-\\phi_2\\phi_1'}\\begin{pmatrix}\n\\phi_2'\u0026-\\phi_2\\\\-\\phi_1'\u0026\\phi_1\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}\n0\\\\b(x)\n\\end{pmatrix}\n(c1'​c2'​​)=ϕ1​ϕ2'​-ϕ2​ϕ1'​1​(ϕ2'​-ϕ1'​​-ϕ2​ϕ1​​)(0b(x)​)"])self.__next_f.push([1,"1b:[\"$\",\"meta\",\"5\",{\"property\":\"og:description\",\"content\":\"$24\"}]\n1c:[\"$\",\"meta\",\"6\",{\"property\":\"og:site_name\",\"content\":\"Citrus\"}]\n1d:[\"$\",\"meta\",\"7\",{\"property\":\"og:type\",\"content\":\"article\"}]\n1e:[\"$\",\"meta\",\"8\",{\"property\":\"article:published_time\",\"content\":\"2025-06-06T04:35:27.000Z\"}]\n1f:[\"$\",\"meta\",\"9\",{\"name\":\"twitter:card\",\"content\":\"summary_large_image\"}]\n20:[\"$\",\"meta\",\"10\",{\"name\":\"twitter:title\",\"content\":\"Lesson 61 ODE 速通\"}]\n25:T5aa8,"])self.__next_f.push([1,"订阅更新(RSS/Atom): 提示\n同学们，我们今天需要讲得极快.\n旋度\ncurl(P,Q,R)=det(i^j^k^\partial\partialx\partial\partialy\partial\partialzPQR)=\nabla\timesF⃗\\operatorname{curl}(P,Q,R)=\\det\\begin{pmatrix}\n\\hat{i}\u0026\\hat{j}\u0026\\hat{k}\\\\\n\\frac{\\partial}{\\partial x}\u0026\\frac{\\partial}{\\partial y}\u0026\\frac{\\partial}{\\partial z}\\\\\nP\u0026Q\u0026R\n\\end{pmatrix}=\\nabla\\times\\vec{F}\ncurl(P,Q,R)=det\n​i^\partialx\partial​P​j^​\partialy\partial​Q​k^\partialz\partial​R​\n​=\nabla\timesF\n\n我们可以把矢量场 F⃗\\vec{F}F\n 看作一个风速场，问：绕某个轴 n^\\hat{n}n^，旋转的快慢？\n这时我们取一个平面垂直于 n^\\hat{n}n^，轴与平面的交点记为中心点 PPP，可以计算某个探测质点在一圈之中受到风的做功：\n\int\partialSF⃗\cdotdr⃗=Stokes\iintS(\nabla\timesF⃗)\cdotdS⃗=\iintS(\nabla\timesF⃗)\cdotn^dS\\int_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\\overset{\\text{Stokes}}{=}\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\text{d}\\vec{S}=\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\hat{n}\\text{d}S\n\int\partialS​F\n\cdotdr\n=Stokes\iintS​(\nabla\timesF\n)\cdotdS\n=\iintS​(\nabla\timesF\n)\cdotn^dS\n因为想要探测这一点处的旋转快慢，所以取积分区域趋于这一点的极限，这样 “测量” 得更加准确. 于是有\nlimr\to01area(S)\int\partialSF⃗\cdotdr⃗=limr\to01area(S)\iintS(curl(F⃗)\cdotn^)dS=limr\to0curl(F⃗)Q\cdotn^=(curlF⃗)(P⃗)\cdotn^\\begin{aligned}\n\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{\\text{area}(S)}\\int_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\u0026=\\lim_{r\\to0}\\frac{1}{\\text{area}(S)}\\iint_S(\\text{curl}(\\vec{F})\\cdot\\hat{n})\\text{d}S\\\\\\\\\n\u0026=\\lim_{r\\to0}\\text{curl}(\\vec{F})_{Q}\\cdot\\hat{n}\\\\\\\\\n\u0026=(\\operatorname{curl}\\vec{F})(\\vec{P})\\cdot\\hat{n}\n\\end{aligned}\nr\to0lim​area(S)1​\int\partialS​F\n\cdotdr\n​=r\to0lim​area(S)1​\iintS​(curl(F\n)\cdotn^)dS=r\to0lim​curl(F\n)Q​\cdotn^=(curlF\n)(P\n)\cdotn^​\n这说明，某点处的旋转快慢程度可以用该点处旋度向旋转轴的的投影来描述.\n总结一下我们目前的场论知识：\n{scalar field A}⟶grad{vector field X}⟶curl{vector field}⟶div{scalar field}Ω0(R3)⟶dΩ1(R3)⟶dΩ2(R3)⟶dΩ3(R3)\\{\\text{scalar field }A\\}\\overset{\\text{grad}}{\\longrightarrow}\\{\\text{vector field }\\mathscr{X}\\}\\overset{\\text{curl}}{\\longrightarrow}\\{\\text{vector field}\\}\\overset{\\text{div}}{\\longrightarrow}\\{\\text{scalar field}\\}\\\\\\newline\n\\Omega^0(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^1(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^2(\\R^3)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^3(\\R^3)\n{scalar field A}⟶grad​{vector field X}⟶curl​{vector field}⟶div​{scalar field}Ω0(R3)⟶d​Ω1(R3)⟶d​Ω2(R3)⟶d​Ω3(R3)\n物理上有一些常用的命题：就是上述任意两步连续进行都会变成 000.\n/Claim/\ncurl(gradφ)=0 ,div(curlv)=0\\operatorname{curl}(\\operatorname{grad}\\varphi)=0\\,,\\quad\\operatorname{div}(\\operatorname{curl}v)=0\ncurl(gradφ)=0,div(curlv)=0\n梯度场无旋，旋度场无散.\n上述图表是交换的，如下：\n\n/Claim/\nd\circd\\text{d}\\circ\\text{d}d\circd 恒为零.\n/Proof/\nd\circd(fdxi1\dotsdxik)=d(\sumj\partialf\partialxjdxjdxi1\dotsdxik)=\sumj\sumt\partial\partialxt(\partialf\partialxj)dxtdxjdxi1\dotsdxik\\begin{aligned}\n\u0026\\text{d}\\circ\\text{d}(f\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k})\\\\\\\\\n\u0026=\\text{d}\\left(\\sum_{j}\\frac{\\partial f}{\\partial x_j}\\text{d}x_j\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}\\right)\\\\\\\\\n\u0026=\\sum_j\\sum_t\\frac{\\partial}{\\partial x_t}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_j}\\right)\\text{d}x_t\\text{d}x_j\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}\n\\end{aligned}\n​d\circd(fdxi1​​\dotsdxik​​)=d(j\sum​\partialxj​\partialf​dxj​dxi1​​\dotsdxik​​)=j\sum​t\sum​\partialxt​\partial​(\partialxj​\partialf​)dxt​dxj​dxi1​​\dotsdxik​​​\n计算 dxpdxqdxi1\dotsdxik\\text{d}x_p\\text{d}x_q\\text{d}x_{i_1}\\cdots\\text{d}x_{i_k}dxp​dxq​dxi1​​\dotsdxik​​ 项的系数：\n\partial\partialxp(\partialf\partialxq)-\partial\partialxq(\partialf\partialxp)=0\\frac{\\partial}{\\partial x_p}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_q}\\right)-\\frac{\\partial}{\\partial x_q}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_p}\\right)=0\n\partialxp​\partial​(\partialxq​\partialf​)-\partialxq​\partial​(\partialxp​\partialf​)=0\n所以上式恒为零.\n改述命题为：若 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω，则 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0. 我们想要问这个条件是否是充要条件，也就是是否有：若 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0，则 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω？\n/Lemma/ (Poincare 引理)\n在 Rn\\R^nRn 上成立，设 α\inΩk(Rn)\\alpha\\in\\Omega^k(\\R^n)α\inΩk(Rn) 满足 dα=0\\text{d}\\alpha=0dα=0，则 \exists  ω\inΩk-1(Rn)\\exist\\,\\,\\omega\\in\\Omega^{k-1}(\\R^n)\existsω\inΩk-1(Rn) 使得 α=dω\\alpha=\\text{d}\\omegaα=dω.\nn=3n=3n=3 时，物理上我们有这样的说法：\nk=1k=1k=1，R3\\R^3R3 上的无旋场一定有势 (若 \nabla\timesA⃗=0⟹\exists  A⃗=\nablaφ\\nabla\\times\\vec{A}=0\\Longrightarrow\\exist\\,\\,\\vec{A}=\\nabla\\varphi\nabla\timesA\n=0⟹\existsA\n=\nablaφ)；\nk=2k=2k=2，R3\\R^3R3 上的无散场来自旋度场 (若 \nabla\cdotB⃗=0⟹\exists  A⃗\\nabla\\cdot\\vec{B}=0\\Longrightarrow\\exist\\,\\,\\vec{A}\nabla\cdotB\n=0⟹\existsA\n 使得 B⃗=\nabla\timesA⃗\\vec{B}=\\nabla\\times\\vec{A}B\n=\nabla\timesA\n).\n我们不仔细证明这一结论，因为一般情况比我们想象中要难证明很多. 但是可以先尝试证明 n=3n=3n=3，k=1k=1k=1 的情况：\n/Proof/\n设 A⃗\\vec{A}A\n 无旋，来定义势能 φ\\varphiφ. 定义：\nφ(u⃗)-φ(u⃗0)=\intL⃗A⃗\cdotdr⃗\\varphi(\\vec{u})-\\varphi(\\vec{u}_0)=\\int_{\\vec{L}}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}\nφ(u\n)-φ(u\n0​)=\intL\n​A\n\cdotdr\n\n验证定义与 L⃗\\vec{L}L\n 无关：取简单闭曲线 C=L⃗-L⃗'C=\\vec{L}-\\vec{L}'C=L\n-L\n' (不妨假设 LLL \u0026 L'L'L' 无自交点)\n由 topology，可以证明任意简单闭曲线都能表示为某个曲面的边界. 则有\n\intCA⃗\cdotdr⃗=\iintS(\nabla\timesA⃗)\cdotdS⃗=0\\int_C\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}=\\iint_S(\\nabla\\times\\vec{A})\\cdot\\text{d}\\vec{S}=0\n\intC​A\n\cdotdr\n=\iintS​(\nabla\timesA\n)\cdotdS\n=0\n(A⃗\\vec{A}A\n 无旋) 所以\n\intL⃗A⃗\cdotdr⃗-\intL⃗'A⃗\cdotdr⃗=0\\int_{\\vec{L}}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}-\\int_{\\vec{L}'}\\vec{A}\\cdot\\text{d}\\vec{r}=0\n\intL\n​A\n\cdotdr\n-\intL\n'​A\n\cdotdr\n=0\n得证.\n对于 k=2k=2k=2 的部分，Poincare 手动构造出了旋度场使得 \nabla\timesA⃗=B⃗\\nabla\\times\\vec{A}=\\vec{B}\nabla\timesA\n=B\n：\n/Proof/\n如下构造：\nA1(x,y,z)=\int01[zB2(tx,ty,tz)-yB3(tx,ty,tz)]tdtA2(x,y,z)=\int01[xB3(tx,ty,tz)-zB1(tx,ty,tz)]tdtA3(x,y,z)=\int01[yB1(tx,ty,tz)-xB2(tx,ty,tz)]tdt\\begin{aligned}\nA_1(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[zB_2(tx,ty,tz)-yB_3(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\\\\\nA_2(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[xB_3(tx,ty,tz)-zB_1(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\\\\\nA_3(x,y,z)\u0026=\\int_0^1[yB_1(tx,ty,tz)-xB_2(tx,ty,tz)]t\\text{d}t\n\\end{aligned}\nA1​(x,y,z)A2​(x,y,z)A3​(x,y,z)​=\int01​[zB2​(tx,ty,tz)-yB3​(tx,ty,tz)]tdt=\int01​[xB3​(tx,ty,tz)-zB1​(tx,ty,tz)]tdt=\int01​[yB1​(tx,ty,tz)-xB2​(tx,ty,tz)]tdt​\n只需要证明 \nabla\timesA⃗=B⃗\\nabla\\times\\vec{A}=\\vec{B}\nabla\timesA\n=B\n. 我们只证明如下式子：\nB1(x,y,z)=\partial\partialyA3-\partial\partialzA2B_1(x,y,z)=\\frac{\\partial}{\\partial y}A_3-\\frac{\\partial}{\\partial z}A_2\nB1​(x,y,z)=\partialy\partial​A3​-\partialz\partial​A2​\n我们在这里需要知道含参积分的求导：\n对于含参积分\nF(x)=\intcdf(x,y)dyF(x)=\\int_c^df(x,y)\\text{d}y\nF(x)=\intcd​f(x,y)dy\n/Theorem/\n若 fff 是连续二元函数 ⟹\\Longrightarrow⟹ FFF 连续.\n进一步，若 \partialf\partialx\\frac{\\partial f}{\\partial x}\partialx\partialf​ 也连续，则\nF'(x)=\intcd\partialf\partialx(x,y)dyF'(x)=\\int_c^d\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\\text{d}y\nF'(x)=\intcd​\partialx\partialf​(x,y)dy\n提示\n也就是 “积分里面求微分”.\nFeynman 声称他在中学时知道了这个 “积分里求微分” 的方法，并且他吹嘘说这个方法让他得了 Nobel Prize，因为在做 QED 的路径积分时要非常经常地使用这一方法.\n\partialA3\partialy=\partial\partialy\int01(yB1-xB2)tdt=\int01[B1(tx,ty,tz)+t\partialB1\partialy(tx,ty,tz)t-x\partialB2\partialy(tx,ty,tz)t]tdt\\begin{aligned}\n\u0026\\frac{\\partial A_3}{\\partial y}\\\\\u0026=\\frac{\\partial}{\\partial y}\\int_0^1(yB_1-xB_2)t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[B_1(tx,ty,tz)+t\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}(tx,ty,tz)t-x\\frac{\\partial B_2}{\\partial y}(tx,ty,tz)t\\right]t\\text{d}t\n\\end{aligned}\n​\partialy\partialA3​​=\partialy\partial​\int01​(yB1​-xB2​)tdt=\int01​[B1​(tx,ty,tz)+t\partialy\partialB1​​(tx,ty,tz)t-x\partialy\partialB2​​(tx,ty,tz)t]tdt​\n另一项同理，相减得到\n\partialA3\partialy-\partialA2\partialz=\int01[B1+y\partialB1\partialyt-x\partialB2\partialyt-x\partialB1\partialzt+B1+z\partialB1\partialzt]tdt=\int01[2B1+y\partialB1\partialyt+x\partialB1\partialxt+z\partialB1\partialzt]tdt=\int01[2B1(tx,ty,tz)tdt+(dB1(tx,ty,tz)dt)t2dt]=\int012B1(tx,ty,tz)tdt+B1(tx,ty,tz)t2∣01-\int01B1(tx,ty,tz)\cdot2tdt=B1(x,y,z)\\begin{aligned}\n\u0026\\frac{\\partial A_3}{\\partial y}-\\frac{\\partial A_2}{\\partial z}\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[B_1+y\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}t-x\\frac{\\partial B_2}{\\partial y}t-x\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t+B_1+z\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t\\right]t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[2B_1+y\\frac{\\partial B_1}{\\partial y}t+x\\frac{\\partial B_1}{\\partial x}t+z\\frac{\\partial B_1}{\\partial z}t\\right]t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^1\\left[2B_1(tx,ty,tz)t\\text{d}t+\\left(\\frac{\\text{d}B_1(tx,ty,tz)}{\\text{d}t}\\right)t^2\\text{d}t\\right]\\\\\\\\\n\u0026=\\int_0^12B_1(tx,ty,tz)t\\text{d}t+B_1(tx,ty,tz)t^2|^1_0-\\int_0^1B_1(tx,ty,tz)\\cdot2t\\text{d}t\\\\\\\\\n\u0026=B_1(x,y,z)\n\\end{aligned}\n​\partialy\partialA3​​-\partialz\partialA2​​=\int01​[B1​+y\partialy\partialB1​​t-x\partialy\partialB2​​t-x\partialz\partialB1​​t+B1​+z\partialz\partialB1​​t]tdt=\int01​[2B1​+y\partialy\partialB1​​t+x\partialx\partialB1​​t+z\partialz\partialB1​​t]tdt=\int01​[2B1​(tx,ty,tz)tdt+(dtdB1​(tx,ty,tz)​)t2dt]=\int01​2B1​(tx,ty,tz)tdt+B1​(tx,ty,tz)t2∣01​-\int01​B1​(tx,ty,tz)\cdot2tdt=B1​(x,y,z)​\n得证.\n/Remark/\n这是如何构造出来的？\n相当于构造 Φ:Rn\times[0,1]\toRn\\Phi:\\R^n\\times[0,1]\\to\\R^nΦ:Rn\times[0,1]\toRn，得到 Φ(x1,\dots ,xn,t)=(tx1,\dots ,txn)\\Phi(x_1,\\cdots,x_n,t)=(tx_1,\\cdots,tx_n)Φ(x1​,\dots,xn​,t)=(tx1​,\dots,txn​).\nPoincare 令：\n\int01(Φ*α)=ω\\int_0^1(\\Phi^*\\alpha)=\\omega\n\int01​(Φ*α)=ω\n则 ω\inΩk-1(Rn)\\omega\\in\\Omega^{k-1}(\\R^n)ω\inΩk-1(Rn)，容易验证 dω=α\\text{d}\\omega=\\alphadω=α.\nPoincare 引理只在 Rn\\R^nRn 上成立，对于一般的流形 XXX，\nΩ0(X)⟶dΩ1(X)⟶dΩ2(X)⟶d\dots\\Omega^0(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^1(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\Omega^2(X)\\overset{\\text{d}}{\\longrightarrow}\\cdots\nΩ0(X)⟶d​Ω1(X)⟶d​Ω2(X)⟶d​\dots\n问：还有没有 Poincare 引理成立？\n我们已经证明 {α=dω}\subseteq{dα=0}\\{\\alpha=\\text{d}\\omega\\}\\subseteq\\{\\text{d}\\alpha=0\\}{α=dω}\subseteq{dα=0}，定义：\nHk(X)={dα=0 , α\inΩk(X)}{α=dω , α\inΩk-1(X)}H^k(X)=\\frac{\\{\\text{d}\\alpha=0\\,,\\,\\alpha\\in\\Omega^k(X)\\}}{\\{\\alpha=\\text{d}\\omega\\,,\\,\\alpha\\in\\Omega^{k-1}(X)\\}}\nHk(X)={α=dω,α\inΩk-1(X)}{dα=0,α\inΩk(X)}​\n来描述两个集合的差异. 这就是 XXX 的 kkk 维上同调 (de Rham cohomology)\nH1(X)={XH^1(X)=\\{XH1(X)={X 上的无旋场}/{\\}/\\{}/{有势场}\\}}.\nH2(X)={XH^2(X)=\\{XH2(X)={X 上的无散场}/{\\}/\\{}/{旋度场}\\}}.\n提示\n推荐大家在暑假看一本书 From Calculus to Cohomology. 这是我们课程最好的一本后续读物.\nODE\nOrdinary Differential Equation.\n求解 ODE 实际上就是求 (所有) 的 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 使之满足一个有关 yyy 和 yyy 的高阶导数的方程.\nF(y(x),y(1)(x),\dots ,y(n)(x))=0 ,\forallx\inIF(y(x),y^{(1)}(x),\\cdots,y^{(n)}(x))=0\\,,\\quad\\forall x\\in I\nF(y(x),y(1)(x),\dots,y(n)(x))=0,\forallx\inI\n在 III 上求 ODE 的所有解 / 通解.\n方法或者目的是：去掉求导符号，积分 / 做 nnn 次积分.\n同学们大多数是物理背景，在物理中，我们会更关心演化的过程，一般而言我们得到的条件是\n{F(y,y(1),\dots ,y(n))=0y(x0)=y0y(1)(x0)=y1⋮y(n-1)(x0)=yn-1\\begin{cases}\nF(y,y^{(1)},\\cdots,y^{(n)})=0\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\\\\\ny^{(1)}(x_0)=y_1\\\\\n\\vdots\\\\\ny^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​F(y,y(1),\dots,y(n))=0y(x0​)=y0​y(1)(x0​)=y1​⋮y(n-1)(x0​)=yn-1​​\n这类问题被称为 Cauchy 问题 / ODE 初值问题.\n初等方法\n分离变量法解一阶 ODE：\n一般而言，一阶 ODE 是形如 F(x,y(x),y'(x))=0F(x,y(x),y'(x))=0F(x,y(x),y'(x))=0 的方程. 可分离变量的一阶 ODE 是其中可以改写为 y'(x)=f(x)g(y)y'(x)=f(x)g(y)y'(x)=f(x)g(y) 的一类.\n这一类方程可以写成：\ndydx=f(x)g(y)⟹dyg(y)=f(x)dx\\frac{\\text{d}y}{\\text{d}x}=f(x)g(y)\\Longrightarrow \\frac{\\text{d}y}{g(y)}=f(x)\\text{d}x\ndxdy​=f(x)g(y)⟹g(y)dy​=f(x)dx\n\n\n若可以找出 1/g(y)1/g(y)1/g(y) 的原函数 G(y)G(y)G(y)，有\nG(y)=\intdyg(y)G(y)=\\int\\frac{\\text{d}y}{g(y)}\nG(y)=\intg(y)dy​\n由链式法则，得到 G(y(x))=f(x)G(y(x))=f(x)G(y(x))=f(x) 的原函数，所以\nG(y(x))=\intf(x)dxG(y(x))=\\int f(x)\\text{d}x\nG(y(x))=\intf(x)dx\n上述说法太过于麻烦，形式化的改写是直接两边不定积分：\n\intdyg(y)=\intf(x)dx\\int\\frac{\\text{d}y}{g(y)}=\\int f(x)\\text{d}x\n\intg(y)dy​=\intf(x)dx\n对于 Cauchy 问题中的可分离变量一阶 ODE，多一个条件 y(x0)=y0y(x_0)=y_0y(x0​)=y0​，这时严格的解法是\n\inty0y(x)dyg(y)=y(x)=y\intx0xy'(x)dxg(y(x))=\intx0xf(x)dx\\int_{y_0}^{y(x)}\\frac{\\text{d}y}{g(y)}\\overset{y(x)=y}{=}\\int_{x_0}^x\\frac{y'(x)\\text{d}x}{g(y(x))}=\\int_{x_0}^xf(x)\\text{d}x\n\inty0​y(x)​g(y)dy​=y(x)=y\intx0​x​g(y(x))y'(x)dx​=\intx0​x​f(x)dx\n更加形式化的改写是直接分离变量，然后两边定积分：\n\inty0y(x)dyg(y)=\intx0xf(x)dx\\int_{y_0}^{y(x)}\\frac{\\text{d}y}{g(y)}=\\int_{x_0}^xf(x)\\text{d}x\n\inty0​y(x)​g(y)dy​=\intx0​x​f(x)dx\n一阶线性 ODE\n线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ 方程关于 y,y',\dots ,y(n)y,y',\\cdots,y^{(n)}y,y',\dots,y(n) 的线性式子.\n一阶线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y'(x)+P(x)y(x)=Q(x).\n齐次线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ Q(x)=0Q(x)=0Q(x)=0；反之则为非齐次的.\n解法是：\n(1) 解齐次 ODE：y'+P(x)y=0y'+P(x)y=0y'+P(x)y=0. 显然可以分离变量，得到\\\ndyy=-P(x)dx\\frac{\\text{d}y}{y}=-P(x)\\text{d}x\nydy​=-P(x)dx\n提示\n同学们，我们休息一会.\n一阵骚动\n同学们，要不这样，我们不休息了.\n上述分离变量积分得到\ny=Ce-\intx0xP(t)dty=Ce^{-\\int_{x_0}^xP(t)\\text{d}t}\ny=Ce-\intx0​x​P(t)dt\n(2) 对于一般的一阶线性 ODE：\n将齐次的解中的 CCC 从数变为函数 —— 常数变易法\n考虑：\ny(x)=C(x)e-\intx0xP(t)dty(x)=C(x)e^{-\\int_{x_0}^xP(t)\\text{d}t}\ny(x)=C(x)e-\intx0​x​P(t)dt\n代入，得到\nC'(x)e-\intx0xP+C(x)e-\intx0xP(-P)+PCe-\intx0x=QC'(x)e^{-\\int_{x_0}^xP}+C(x)e^{-\\int_{x_0}^xP}(-P)+PCe^{-\\int_{x_0}^x}=Q\nC'(x)e-\intx0​x​P+C(x)e-\intx0​x​P(-P)+PCe-\intx0​x​=Q\n后面两项抵消.\n提示\n“抵消” 的 “抵” 字下面有没有这一点？\n最终得到公式：\ny(x)=(\intQ(x)e\intP(t)dtdx+C)e-\intP(t)dty(x)=\\left(\\int Q(x)e^{\\int P(t)\\text{d}t}\\text{d}x+C\\right)e^{-\\int P(t)\\text{d}t}\ny(x)=(\intQ(x)e\intP(t)dtdx+C)e-\intP(t)dt\n这个公式 / 方法将作为基石，之后用到：\nBernoulli 方程、全微分方程 (积分因子法)、可降阶的 ODE、二阶 ODE (不显含 yyy / 不显含 xxx)\dots\n不显含时间的二阶微分方程\n形如如下的方程：\n{y''=H(y,y')y(x0)=y0y'(x0)=y1\\begin{cases}\ny''=H(y,y')\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\\\\\ny'(x_0)=y_1\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​y''=H(y,y')y(x0​)=y0​y'(x0​)=y1​​\n不显含 xxx. 求解的方法是做如下的映射：\nR⟶y-1I⟶y'R\\R\\overset{y^{-1}}{\\longrightarrow}I\\overset{y'}{\\longrightarrow}\\R\nR⟶y-1​I⟶y'​R\n其中 III 是 xxx 的定义域.\n为了确认反函数的存在，要使用反函数定理，若 y'(x0)=y1\neq0y'(x_0)=y_1\\neq0y'(x0​)=y1​\neq=0，则在 x0x_0x0​ 附近有反函数 y-1y^{-1}y-1. 因为我们觉得 \"yyy\" 既代表点又代表函数，容易引起歧义，所以将函数写成 φ(x)\\varphi(x)φ(x).\n令 P(y)=φ'(φ-1(y))P(y)=\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))P(y)=φ'(φ-1(y))\n现在的问题是：φ''(φ-1(y))=?\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))=?φ''(φ-1(y))=?\n链式法则，得到\ndPdy=φ''(φ-1(y))φ'(φ-1(y))\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=\\frac{\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))}{\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))}\ndydP​=φ'(φ-1(y))φ''(φ-1(y))​\n所以\nφ''(φ-1(y))=φ'(φ-1(y))dPdy=P(y)dPdy\\varphi''(\\varphi^{-1}(y))=\\varphi'(\\varphi^{-1}(y))\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}\nφ''(φ-1(y))=φ'(φ-1(y))dydP​=P(y)dydP​\n于是可以求解方程，原来的方程写为\nP(y)dPdy=H(y,P(y))P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=H(y,P(y))\nP(y)dydP​=H(y,P(y))\n是一个关于 P(y)P(y)P(y) 的一阶 ODE.\n总结解法：\n令 P(y)=y'\circy-1P(y)=y'\\circ y^{-1}P(y)=y'\circy-1，则\ny''=P(y)dPdyy''=P(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}\ny''=P(y)dydP​\n从而方程 y''=H(y,y')y''=H(y,y')y''=H(y,y') 变为：\n{P(y)dPdy=H(y,P(y))P(y0)=y1\\begin{cases}\nP(y)\\frac{\\text{d}P}{\\text{d}y}=H(y,P(y))\\\\\\\\\nP(y_0)=y_1\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​P(y)dydP​=H(y,P(y))P(y0​)=y1​​\n一阶 ODE 短期解\n一阶 ODE 初值问题的短期解是存在且唯一的.\n{y'=f(x,y)y(x0)=y0⟺integral\intx0xy'(x)dx=\intx0xf(x,y(x))dx\\begin{cases}\ny'=f(x,y)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\n\\end{cases}\\quad\\overset{\\text{integral}}{\\Longleftrightarrow}\\quad\\int_{x_0}^xy'(x)\\text{d}x=\\int_{x_0}^xf(x,y(x))\\text{d}x\n⎩\n⎨\n⎧​y'=f(x,y)y(x0​)=y0​​⟺integral​\intx0​x​y'(x)dx=\intx0​x​f(x,y(x))dx\n变为一个这样的积分方程：\ny(x)=y0+\intx0xf(t,y(t))dty(x)=y_0+\\int_{x_0}^xf(t,y(t))\\text{d}t\ny(x)=y0​+\intx0​x​f(t,y(t))dt\n求解函数空间 M=C([a,b])M=C([a,b])M=C([a,b]) 上的解，积分方程 RHS 是 MMM 上的一个算子 T:M\toM\\text{T}:M\\to MT:M\toM，\forallφ\inM\\forall\\varphi\\in M\forallφ\inM 定义 Tφ\inM\\operatorname{T}\\varphi\\in MTφ\inM 为\n(Tφ)(x)=y0+\intx0xf(t,φ(t))dt ,\forallx\in[a,b](\\operatorname{T}\\varphi)(x)=y_0+\\int_{x_0}^xf(t,\\varphi(t))\\text{d}t\\,,\\quad\\forall x\\in[a,b]\n(Tφ)(x)=y0​+\intx0​x​f(t,φ(t))dt,\forallx\in[a,b]\n所以求解这个积分方程等价于找到 φ(x)\inM\\varphi(x)\\in Mφ(x)\inM 使得 φ(x)=(Tφ)(x)\\varphi(x)=(\\operatorname{T}\\varphi)(x)φ(x)=(Tφ)(x)，也就是找到 T\\operatorname{T}T 这个映射的不动点.\n用压缩映像定理：\nMMM 上的度量写成：\nd(h,g)=maxx\in[a,b]∣h(x)-g(x)∣ ,\forallh,g\inMd(h,g)=\\max_{x\\in[a,b]}|h(x)-g(x)|\\,,\\quad\\forall h,g\\in M\nd(h,g)=x\in[a,b]max​∣h(x)-g(x)∣,\forallh,g\inM\n易证这个度量完备.\nT\\operatorname{T}T 是否压缩？\nd(Tφ,Tψ)=maxx∣Tφ(x)-Tψ(x)∣=∣\intx0x(f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))dt)∣\leq\intx0x∣f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))∣dt\\begin{aligned}\n\u0026d(\\operatorname{T}\\varphi,\\operatorname{T}\\psi)\\\\\\\\\n\u0026=\\max_{x}|\\operatorname{T}\\varphi(x)-\\operatorname{T}\\psi(x)|\\\\\\\\\n\u0026=\\left|\\int_{x_0}^x(f(t,\\varphi(t))\\text{d}t-f(t,\\psi(t))\\text{d}t)\\right|\\\\\\\\\n\u0026\\leq\\int_{x_0}^x|f(t,\\varphi(t))\\text{d}t-f(t,\\psi(t))|\\text{d}t\n\\end{aligned}\n​d(Tφ,Tψ)=xmax​∣Tφ(x)-Tψ(x)∣=\n​\intx0​x​(f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))dt)\n​\leq\intx0​x​∣f(t,φ(t))dt-f(t,ψ(t))∣dt​\n这里用到所谓 Lipshitz 条件：\n/Definition/\n称 fff 在 [a,b]\times[c,d]=I[a,b]\\times[c,d]=I[a,b]\times[c,d]=I 上是 Lipshitz 的，若 \exists\\exist\exists 常数 LLL 使得\n∣f(x,y1)-f(x,y2)∣\leqL∣y1-y2∣ ,\forall(x,y1),(x,y2)\inI|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\\leq L|y_1-y_2|\\,,\\quad\\forall(x,y_1),(x,y_2)\\in I\n∣f(x,y1​)-f(x,y2​)∣\leqL∣y1​-y2​∣,\forall(x,y1​),(x,y2​)\inI\n/Theorem/ (Picard - Lindelof 定理)\n设 fff 是连续的且 Lipshitz，则 \exists  h\u003e0\\exist\\,\\,h\u003e0\existsh\u003e0 (可能很小)，使得\n{y'=f(x,y)y(x0)=y0\\begin{cases}\ny'=f(x,y)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​y'=f(x,y)y(x0​)=y0​​\n在 [x0-h,x0+h][x_0-h,x_0+h][x0​-h,x0​+h] 上有唯一解 (短期解).\n高阶线性 ODE\n形如下面的 ODE：\ny(n)+an-1(x)y(n-1)+\dots+a0(x)y(x)=b(x)(*)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\\cdots+a_0(x)y(x)=b(x)\\tag{*}\ny(n)+an-1​(x)y(n-1)+\dots+a0​(x)y(x)=b(x)(*)\n/Theorem/ (线性 ODE 有唯一长期解)\n设 ai(x)\inC([a,b])a_i(x)\\in C([a,b])ai​(x)\inC([a,b])，\foralli\\forall i\foralli.\n则 Cauchy 问题：\n{(*)y(x0)=y0⋮y(n-1)(x0)=yn-1\\begin{cases}\n(*)\\\\\\\\\ny(x_0)=y_0\\\\\n\\vdots\\\\\ny^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\n\\end{cases}\n⎩\n⎨\n⎧​(*)y(x0​)=y0​⋮y(n-1)(x0​)=yn-1​​\n有唯一解.\n其理由是线性的一阶 ODE 就已经可以写下唯一的长期解 (常数变易法).\n高阶线性 ODE ⟷\\longleftrightarrow⟷ 一阶线性 ODE 的矢量值版本. 引入：\nv1(x)=y(x) ,v2(x)=y'(x) ,\dots ,vn(x)=y(n-1)(x)v_1(x)=y(x)\\,,\\quad v_2(x)=y'(x)\\,,\\quad\\cdots\\,,\\quad v_n(x)=y^{(n-1)}(x)\nv1​(x)=y(x),v2​(x)=y'(x),\dots,vn​(x)=y(n-1)(x)\n得到\n(v1⋮vn)'=(01\dots001\dots⋮0\dots01-a0-a1\dots-an)+(0⋮0v(x))\\begin{pmatrix}\nv_1\\\\\\vdots\\\\v_n\n\\end{pmatrix}'=\\begin{pmatrix}\n0\u00261\u0026\\cdots\\\\\n0\u00260\u00261\u0026\\cdots\\\\\n\\vdots\\\\\n0\u0026\\cdots\u0026\u00260\u00261\\\\\n-a_0\u0026-a_1\u0026\\cdots\u0026\u0026-a_n\n\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}\n0\\\\\\vdots\\\\0\\\\v(x)\n\\end{pmatrix}\n\n​v1​⋮vn​​\n​'=\n​00⋮0-a0​​10\dots-a1​​\dots1\dots​\dots0​1-an​​\n​+\n​0⋮0v(x)​\n​\n常系数高阶线性 ODE\n/Theorem/\n齐次线性常系数方程：\ny(n)+an-1y(n-1)+\dots+a0y=0y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_0y=0\ny(n)+an-1​y(n-1)+\dots+a0​y=0\n的全体解可由 nnn 个线性无关解 (基本解生成).\n提示\n实际上这个时候已经下课了.\n/Claim/\n非齐次方程：\ny(n)+an-1y(n-1)+\dots+a0y=by^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_0y=b\ny(n)+an-1​y(n-1)+\dots+a0​y=b\n的全体解 === 自身特解 + 齐次方程通解.\n我们的任务是证明：\n齐次方程，求解 nnn 个线性无关解；\n非齐次方程的特解.\n(1) 对于二阶齐次线性方程：\ny''+py'+q=0y''+py'+q=0\ny''+py'+q=0\n古人试出来：y(x)=eλty(x)=e^{\\lambda t}y(x)=eλt，代入得到特征方程 λ2+pλ+q=0\\lambda^2+p\\lambda+q=0λ2+pλ+q=0，特征根是 λ=α,β\\lambda=\\alpha,\\betaλ=α,β. 所以这时候的解是\nϕ1(x)=eαx ,ϕ2(x)=eβx\\phi_1(x)=e^{\\alpha x}\\,,\\quad\\phi_2(x)=e^{\\beta x}\nϕ1​(x)=eαx,ϕ2​(x)=eβx\n如果 α=β\\alpha=\\betaα=β 的特殊情况，则通解为 (由 L'Hopital 法则给出) xeαxxe^{\\alpha x}xeαx.\n此时这两个解的线性组合生成全部的解，所以是通解.\n(2) 对于二阶非齐次线性方程：\ny''+py'+q=by''+py'+q=b\ny''+py'+q=b\n要找到一个特解，我们使用常数变易法，将 c1ϕ1(x)+c2ϕ2(x)c_1\\phi_1(x)+c_2\\phi_2(x)c1​ϕ1​(x)+c2​ϕ2​(x) 中的两个常数 c1,c2c_1,c_2c1​,c2​ 变为函数 c1(x),c2(x)c_1(x),c_2(x)c1​(x),c2​(x)，但是这样会使得求导之后的项数越来越多，所以我们预先规定：\nc1'ϕ1+c2'ϕ2=0c_1'\\phi_1+c_2'\\phi_2=0c1'​ϕ1​+c2'​ϕ2​=0. 同时要求 c1'ϕ1'+c2'ϕ2'=b(x)c_1'\\phi_1'+c_2'\\phi_2'=b(x)c1'​ϕ1'​+c2'​ϕ2'​=b(x).\n也就得到线性的方程组：\n(ϕ1ϕ2ϕ1'ϕ2')(c1'c2')=(0b(x))\\begin{pmatrix}\n\\phi_1\u0026\\phi_2\\\\\\phi_1'\u0026\\phi_2'\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}\nc_1'\\\\c_2'\n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}\n0\\\\b(x)\n\\end{pmatrix}\n(ϕ1​ϕ1'​​ϕ2​ϕ2'​​)(c1'​c2'​​)=(0b(x)​)\n特解将得到：\n(c1'c2')=1ϕ1ϕ2'-ϕ2ϕ1'(ϕ2'-ϕ2-ϕ1'ϕ1)(0b(x))\\begin{pmatrix}\nc_1'\\\\c_2'\n\\end{pmatrix}=\\frac{1}{\\phi_1\\phi_2'-\\phi_2\\phi_1'}\\begin{pmatrix}\n\\phi_2'\u0026-\\phi_2\\\\-\\phi_1'\u0026\\phi_1\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}\n0\\\\b(x)\n\\end{pmatrix}\n(c1'​c2'​​)=ϕ1​ϕ2'​-ϕ2​ϕ1'​1​(ϕ2'​-ϕ1'​​-ϕ2​ϕ1​​)(0b(x)​)"])self.__next_f.push([1,"21:[\"$\",\"meta\",\"11\",{\"name\":\"twitter:description\",\"content\":\"$25\"}]\n22:[\"$\",\"link\",\"12\",{\"rel\":\"icon\",\"href\":\"/favicon.ico?favicon.0b3bf435.ico\",\"sizes\":\"256x256\",\"type\":\"image/x-icon\"}]\n23:[\"$\",\"$L26\",\"13\",{}]\n"])