上节课说到对于静电问题，电荷不移动，没有电流、没有磁场、没有磁场的变化，也就没有感生电场. 这时电场是一个无旋场，是保守的. 我们在静态的条件下得到了介质的有关边值关系，等等.

边值关系：

$$\hat{n}_{12}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1) = 0\,,\quad\hat{n}_{12}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\sigma_f$$

其中 $\sigma_f$ 是界面上的 自由 电荷面密度. 现在我们要将这些方程化为 $\varphi$ 的方程，以作为 Poisson 方程的边界条件. 在界面上作一个矩形环路，环路的两条长边无限接近于界面 (宽度趋于零)，积分环路上的电场可以得到电势的边值关系为

$$\varphi_1=\varphi_2$$

(电势连续) 同理可以对 $\vec{D}$ 做环路积分，得到

$$\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial\hat{n}}+\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial\hat{n}}=\sigma_f$$

除了介质之外，静电场还涉及导体这一种特殊的物质. 导体内部不存在稳态电场，达到静电平衡的速度很快.

Poisson 方程：

$$\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}$$

如果研究的区域没有自由电荷，则化为 Laplace 方程，为 $\nabla^2\varphi=0$. 对于一个有固定自由电荷分布的问题，可以通过叠加原理，先写出我们已知的电荷分布产生的电势分布，减去这一部分之后剩下的就是我们要解的方程，这可能是一个 Laplace 方程，问题被简化.

这节课要讨论的是：...