多值函数的积分

实变积分中不会出现多值，我们只有在将实变积分 ($\arg z=0$) 变为复变积分的时候造成的一些多值性.

(1) 一种常见的多值函数积分：

$$I=\int_0^\infty x^{s-1}Q(x)\text{d}x$$

其中 $Q(x)$ 单值 (其实整体就是单值的，毕竟是实变积分，但是变为复变之后 $Q(x)$ 仍然单值).

为了保证积分是收敛的，有一个条件：

$$\lim_{x\to\infty}x^sQ(x)=0$$

对于相应的复变积分，积分围道应该要沿着割线 (正实轴) (不沿着割线就没办法做，因为只有这样积分围道内部才没有非孤立的奇点).

如图取围道，注意割线上下岸的积分变量分别是 $x$ 和 $xe^{2\pi\text{i}}$，积分被拆分为

$$\arg z=0$$