Lesson 5 Model Selection

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概率论的乘法规则是什么？
$P (...剩余内容已隐藏查看完整文章以阅读更多查看完整文章(self.__next_f=self.__next_f||[]).push([0])self.__next_f.push([1,"1:\"$Sreact.fragment\"\n2:I[39756,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"default\"]\n3:I[37457,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"default\"]\n4:I[79520,[\"/_next/static/chunks/05c08c33f311058e.js\"],\"\"]\n6:I[97367,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"OutletBoundary\"]\n8:I[11533,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"AsyncMetadataOutlet\"]\na:I[97367,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"ViewportBoundary\"]\nc:I[97367,[\"/_next/static/chunks/ff1a16fafef87110.js\",\"/_next/static/chunks/7dd66bdf8a7e5707.js\"],\"MetadataBoundary\"]\nd:\"$Sreact.suspense\"\nf:I[68027,[\"/_next/static/chunks/05c08c33f311058e.js\"],\"default\"]\n:HL[\"/_next/static/chunks/aeb0d837d331be8d.css\",\"style\"]\n:HL[\"/_next/static/media/797e433ab948586e-s.p.dbea232f.woff2\",\"font\",{\"crossOrigin\":\"\",\"type\":\"font/woff2\"}]\n:HL[\"/_next/static/media/caa3a2e1cccd8315-s.p.853070df.woff2\",\"font\",{\"crossOrigin\":\"\",\"type\":\"font/woff2\"}]\n"])self.__next_f.push([1,"0:{\"P\":null,\"b\":\"1-eHBNv7Or-ljjbwnF-2i\",\"p\":\"\",\"c\":[\"\",\"article?id=064cdef4-9c0a-4f2d-ba0d-95119ed1f89d\u0026link=https%3A%2F%2Fphysnya.top%2Fastro-statistic%2Flesson-5-model-selection%2F\"],\"i\":false,\"f\":[[[\"\",{\"children\":[\"article\",{\"children\":[\"__PAGE__?{\\\"id\\\":\\\"064cdef4-9c0a-4f2d-ba0d-95119ed1f89d\\\",\\\"link\\\":\\\"https://physnya.top/astro-statistic/lesson-5-model-selection/\\\"}\",{}]}]},\"$undefined\",\"$undefined\",true],[\"\",[\"$\",\"$1\",\"c\",{\"children\":[[[\"$\",\"link\",\"0\",{\"rel\":\"stylesheet\",\"href\":\"/_next/static/chunks/aeb0d837d331be8d.css\",\"precedence\":\"next\",\"crossOrigin\":\"$undefined\",\"nonce\":\"$undefined\"}],[\"$\",\"script\",\"script-0\",{\"src\":\"/_next/static/chunks/05c08c33f311058e.js\",\"async\":true,\"nonce\":\"$undefined\"}]],[\"$\",\"html\",null,{\"lang\":\"zh-CN\",\"children\":[[\"$\",\"head\",null,{\"children\":[\"$\",\"link\",null,{\"rel\":\"stylesheet\",\"href\":\"/fontawesome.min.css\"}]}],[\"$\",\"body\",null,{\"className\":\"geist_a71539c9-module__T19VSG__variable 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(证据)？\nP(D∣I)P(D|I)\nP(D∣I)\nBayes' Theorem？\nP(H∣DI)=P(D∣HI)P(H∣I)P(D∣I)P(H|DI) = \\frac{P(D|HI)P(H|I)}{P(D|I)}\nP(H∣DI)=P(D∣I)P(D∣HI)P(H∣I)\n在一个合理的先验下，更多的数据对后验造成什么影响？\n后验更接近真相了.\n后验变宽，包含了真值.\n后验的峰值更窄，接近真值.\n取决于先验，无法分辨.\n答案应该选 a. 和 c.，因为后验应该是变窄的、向真值集中，而且数据越多我们了解的程度一定更深；但是如果真值有两个峰值，c. 也有可能是错的.\n有哪些估计真值的方式？这几种方法分别如何估计误差？\n我们可以用均值、中位数或者峰值来估计.\n均值估计的误差是用标准差来估计的.\n中位数估计的误差是用百分位数估计的.\n峰值估计的误差可以用「作水平线划定 68%68\\%68% 的方法」估计.\n但是峰值估计没有其他两个那么好的性质.\n什么方法能够最好地呈现一个复杂的后验？\n直接上图！\n怎么算一个后验 p(θ)p(\\theta)p(θ) 的均值和标准差？\nμ=\intθp(θ)dθ ,σ=\int(θ-μ)2p(θ)dθ\\mu=\\int\\theta p(\\theta)\\text{d}\\theta\\,,\\quad\\sigma=\\sqrt{\\int(\\theta-\\mu)^2p(\\theta)\\text{d}\\theta}\nμ=\intθp(θ)dθ,σ=\int(θ-μ)2p(θ)dθ\n\n找到下述表述对应的概念：\n能够最小化误差平方的估计方式：均值估计.\n能够最小化绝对误差的估计方式：中值估计.\n能够最大化后验密度的估计方式：MAP (Maximum a Posteriori)，峰值估计.\n重参数化不影响结果的估计方式：中值估计 (任意百分位数估计).\n判断题：\n三种估计在对称且单峰的先验下，得到的真值等价.\n标准差 = 16 / 84 百分位数的对称且单峰的先验，均值估计和中值估计等价. (\times\\times\times)\n...\n一个长尾的后验，排序三种估计值.\nMAP\u003cmedian\u003cmean\\text{MAP}\u003c\\text{median}\u003c\\text{mean}\nMAP\u003cmedian\u003cmean\n对于独立的数据点 D={di}D=\\{d_i\\}D={di}，给定模型 HHH 和背景知识 III，似然怎么写？\nP(D∣HI)=\prodiP(di∣H,I)P(D|HI) = \\prod_i P(d_i|H,I)\nP(D∣HI)=i\prodP(di∣H,I)\n判断：如果样本分布没有有限的均值和标准差，那么统计不可做.\n并非，因为在真值处的概率仍然可观.\n这节课我们说模型选择，这是比较难而且「坑」很多的一个部分. 我们在上节课学会了数学公式之后，我们这节课回到自己的常识，用合适的数学工具处理数据并验证是否符合自己的常识.\n我们最经常处理的问题是，哪个数学模型 (一次函数、二次函数还是指数函数) 更好地拟合某一串数据点？\n假设检验\n从 Bayes' Theorem 开始：\nP(H∣DI)=P(D∣HI)P(H∣I)P(D∣I)P(H|DI)=\\frac{P(D|HI)P(H|I)}{P(D|I)}\nP(H∣DI)=P(D∣I)P(D∣HI)P(H∣I)\n如果我们有两种互补的假设，HHH and Hˉ\\bar{H}Hˉ，Bayes 定理告诉我们，\nP(H∣DI)=P(D∣HI)P(H∣I)P(D∣I) ,P(Hˉ∣DI)=P(D∣HˉI)P(Hˉ∣I)P(D∣I)P(H|DI)=\\frac{P(D|HI)P(H|I)}{P(D|I)}\\,,\\quad P(\\bar{H}|DI)=\\frac{P(D|\\bar{H}I)P(\\bar{H}|I)}{P(D|I)}\nP(H∣DI)=P(D∣I)P(D∣HI)P(H∣I),P(Hˉ∣DI)=P(D∣I)P(D∣HˉI)P(Hˉ∣I)\n如果把这两者做比，应当得到\nOH\equivP(H∣I)P(Hˉ∣I)=P(H∣I)1-P(H∣I) ,OHˉ=OH-1O_{H}\\equiv\\frac{P(H|I)}{P(\\bar{H}|I)}=\\frac{P(H|I)}{1-P(H|I)}\\,,\\quad O_{\\bar{H}}=O^{-1}_H\nOH\equivP(Hˉ∣I)P(H∣I)=1-P(H∣I)P(H∣I),OHˉ=OH-1\n这样消掉了归一化常数证据. 如果 QH≪1Q_H\\ll1QH≪1，那么我们选择 Hˉ\\bar{H}Hˉ，反之则选择 HHH；但是如果 OH\approx1O_H\\approx1OH\approx1 就无法判断.\n推广一些，我们可以对任意的两个假设做后验比，来选择正确的假说. 一般我们使用的是 log10OH\\log_{10}O_Hlog10OH 或者 lnOH\\ln O_HlnOH 来判断，这是因为人类的判断，或者说感觉，很多时候是对数的.\n比如如果人类能够接受月亮的光，那么太阳光的数量比月光大了几个量级，人类的感觉必须要是对数的才能接受这样的差异；\n另外，人类对时间的感知也是对数的，18 岁 (年龄对数的中值) 之前对一年的感知是缓慢的，但是到了年纪越来越大，时间会「越来越快」.\n提示\n真是毛骨悚然的事实啊...\n继续玩硬币，假设两个硬币 AAA 和 BBB：\nfA=P(1∣AI)=1/2 ,P(0∣AI)=1/2fB=P(1∣BI)=1/4 ,P(0∣BI)=3/4\\begin{aligned}\nf_A \u0026= P(1|AI)=1/2\\,,\\quad P(0|AI)=1/2\\\\\\\\\nf_B \u0026= P(1|BI)=1/4\\,,\\quad P(0|BI)=3/4\n\\end{aligned}\nfAfB=P(1∣AI)=1/2,P(0∣AI)=1/2=P(1∣BI)=1/4,P(0∣BI)=3/4\n这两个硬币混在一起，我们想要区分它们，就拿出一个硬币做实验. 这里，\n先验：\nP(H∣I)=P(Hˉ∣I)=12P(H|I)=P(\\bar{H}|I)=\\frac{1}{2}\nP(H∣I)=P(Hˉ∣I)=21\n似然：\nP(D∣HI)=\prodiP(di∣AI) ,P(D∣HˉI)=\prodiP(di∣BI)P(D|HI)=\\prod_iP(d_i|AI)\\,,\\quad P(D|\\bar{H}I)=\\prod_iP(d_i|BI)\nP(D∣HI)=i\prodP(di∣AI),P(D∣HˉI)=i\prodP(di∣BI)\n后验比：\nOH=\prodiP(di∣AI)P(di∣BI)⟹lnQH=\sumilnP(di∣AI)P(di∣BI)O_H=\\prod_i\\frac{P(d_i|AI)}{P(d_i|BI)}\\Longrightarrow\\ln Q_H=\\sum_i\\ln\\frac{P(d_i|AI)}{P(d_i|BI)}\nOH=i\prodP(di∣BI)P(di∣AI)⟹lnQH=i\sumlnP(di∣BI)P(di∣AI)\n我们发现，每一次实验都让后验比的对数变化一个常数：\nΔlnQH(1)=ln∣P(1∣AI)P(1∣BI)∣=ln2 ,ΔlnQH(0)=ln∣P(0∣AI)P(0∣BI)∣=ln2/3\\Delta\\ln Q_H^{(1)}=\\ln\\left|\\frac{P(1|AI)}{P(1|BI)}\\right|=\\ln2\\,,\\quad\\Delta\\ln Q_H^{(0)}=\\ln\\left|\\frac{P(0|AI)}{P(0|BI)}\\right|=\\ln2/3\nΔlnQH(1)=ln\nP(1∣BI)P(1∣AI)\n=ln2,ΔlnQH(0)=ln\nP(0∣BI)P(0∣AI)\n=ln2/3\n所以随着实验数据的增长，lnQH\\ln Q_HlnQH 线性变化，到达某个值时，我们可以开始下判断. 这个概率影响的是 lnQH\\ln Q_HlnQH 的斜率，也就影响我们需要多少次实验才能下判断.\n\n而先验在这里影响的是图像上的截距，比如如果有 5 个好的硬币，1 个坏的硬币，那么我们一开始拿到的就更可能是好的硬币."])self.__next_f.push([1,"9:{\"metadata\":[[\"$\",\"title\",\"0\",{\"children\":\"Lesson 5 Model Selection | 菲兹克斯喵 | 柑橘 RSS 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的方法」估计.\n但是峰值估计没有其他两个那么好的性质.\n什么方法能够最好地呈现一个复杂的后验？\n直接上图！\n怎么算一个后验 p(θ)p(\\theta)p(θ) 的均值和标准差？\nμ=\intθp(θ)dθ ,σ=\int(θ-μ)2p(θ)dθ\\mu=\\int\\theta p(\\theta)\\text{d}\\theta\\,,\\quad\\sigma=\\sqrt{\\int(\\theta-\\mu)^2p(\\theta)\\text{d}\\theta}\nμ=\intθp(θ)dθ,σ=\int(θ-μ)2p(θ)dθ\n\n找到下述表述对应的概念：\n能够最小化误差平方的估计方式：均值估计.\n能够最小化绝对误差的估计方式：中值估计.\n能够最大化后验密度的估计方式：MAP (Maximum a Posteriori)，峰值估计.\n重参数化不影响结果的估计方式：中值估计 (任意百分位数估计).\n判断题：\n三种估计在对称且单峰的先验下，得到的真值等价.\n标准差 = 16 / 84 百分位数的对称且单峰的先验，均值估计和中值估计等价. (\times\\times\times)\n...\n一个长尾的后验，排序三种估计值.\nMAP\u003cmedian\u003cmean\\text{MAP}\u003c\\text{median}\u003c\\text{mean}\nMAP\u003cmedian\u003cmean\n对于独立的数据点 D={di}D=\\{d_i\\}D={di}，给定模型 HHH 和背景知识 III，似然怎么写？\nP(D∣HI)=\prodiP(di∣H,I)P(D|HI) = \\prod_i P(d_i|H,I)\nP(D∣HI)=i\prodP(di∣H,I)\n判断：如果样本分布没有有限的均值和标准差，那么统计不可做.\n并非，因为在真值处的概率仍然可观.\n这节课我们说模型选择，这是比较难而且「坑」很多的一个部分. 我们在上节课学会了数学公式之后，我们这节课回到自己的常识，用合适的数学工具处理数据并验证是否符合自己的常识.\n我们最经常处理的问题是，哪个数学模型 (一次函数、二次函数还是指数函数) 更好地拟合某一串数据点？\n假设检验\n从 Bayes' Theorem 开始：\nP(H∣DI)=P(D∣HI)P(H∣I)P(D∣I)P(H|DI)=\\frac{P(D|HI)P(H|I)}{P(D|I)}\nP(H∣DI)=P(D∣I)P(D∣HI)P(H∣I)\n如果我们有两种互补的假设，HHH and Hˉ\\bar{H}Hˉ，Bayes 定理告诉我们，\nP(H∣DI)=P(D∣HI)P(H∣I)P(D∣I) ,P(Hˉ∣DI)=P(D∣HˉI)P(Hˉ∣I)P(D∣I)P(H|DI)=\\frac{P(D|HI)P(H|I)}{P(D|I)}\\,,\\quad P(\\bar{H}|DI)=\\frac{P(D|\\bar{H}I)P(\\bar{H}|I)}{P(D|I)}\nP(H∣DI)=P(D∣I)P(D∣HI)P(H∣I),P(Hˉ∣DI)=P(D∣I)P(D∣HˉI)P(Hˉ∣I)\n如果把这两者做比，应当得到\nOH\equivP(H∣I)P(Hˉ∣I)=P(H∣I)1-P(H∣I) ,OHˉ=OH-1O_{H}\\equiv\\frac{P(H|I)}{P(\\bar{H}|I)}=\\frac{P(H|I)}{1-P(H|I)}\\,,\\quad O_{\\bar{H}}=O^{-1}_H\nOH\equivP(Hˉ∣I)P(H∣I)=1-P(H∣I)P(H∣I),OHˉ=OH-1\n这样消掉了归一化常数证据. 如果 QH≪1Q_H\\ll1QH≪1，那么我们选择 Hˉ\\bar{H}Hˉ，反之则选择 HHH；但是如果 OH\approx1O_H\\approx1OH\approx1 就无法判断.\n推广一些，我们可以对任意的两个假设做后验比，来选择正确的假说. 一般我们使用的是 log10OH\\log_{10}O_Hlog10OH 或者 lnOH\\ln O_HlnOH 来判断，这是因为人类的判断，或者说感觉，很多时候是对数的.\n比如如果人类能够接受月亮的光，那么太阳光的数量比月光大了几个量级，人类的感觉必须要是对数的才能接受这样的差异；\n另外，人类对时间的感知也是对数的，18 岁 (年龄对数的中值) 之前对一年的感知是缓慢的，但是到了年纪越来越大，时间会「越来越快」.\n提示\n真是毛骨悚然的事实啊...\n继续玩硬币，假设两个硬币 AAA 和 BBB：\nfA=P(1∣AI)=1/2 ,P(0∣AI)=1/2fB=P(1∣BI)=1/4 ,P(0∣BI)=3/4\\begin{aligned}\nf_A \u0026= P(1|AI)=1/2\\,,\\quad P(0|AI)=1/2\\\\\\\\\nf_B \u0026= P(1|BI)=1/4\\,,\\quad P(0|BI)=3/4\n\\end{aligned}\nfAfB=P(1∣AI)=1/2,P(0∣AI)=1/2=P(1∣BI)=1/4,P(0∣BI)=3/4\n这两个硬币混在一起，我们想要区分它们，就拿出一个硬币做实验. 这里，\n先验：\nP(H∣I)=P(Hˉ∣I)=12P(H|I)=P(\\bar{H}|I)=\\frac{1}{2}\nP(H∣I)=P(Hˉ∣I)=21\n似然：\nP(D∣HI)=\prodiP(di∣AI) ,P(D∣HˉI)=\prodiP(di∣BI)P(D|HI)=\\prod_iP(d_i|AI)\\,,\\quad P(D|\\bar{H}I)=\\prod_iP(d_i|BI)\nP(D∣HI)=i\prodP(di∣AI),P(D∣HˉI)=i\prodP(di∣BI)\n后验比：\nOH=\prodiP(di∣AI)P(di∣BI)⟹lnQH=\sumilnP(di∣AI)P(di∣BI)O_H=\\prod_i\\frac{P(d_i|AI)}{P(d_i|BI)}\\Longrightarrow\\ln Q_H=\\sum_i\\ln\\frac{P(d_i|AI)}{P(d_i|BI)}\nOH=i\prodP(di∣BI)P(di∣AI)⟹lnQH=i\sumlnP(di∣BI)P(di∣AI)\n我们发现，每一次实验都让后验比的对数变化一个常数：\nΔlnQH(1)=ln∣P(1∣AI)P(1∣BI)∣=ln2 ,ΔlnQH(0)=ln∣P(0∣AI)P(0∣BI)∣=ln2/3\\Delta\\ln Q_H^{(1)}=\\ln\\left|\\frac{P(1|AI)}{P(1|BI)}\\right|=\\ln2\\,,\\quad\\Delta\\ln Q_H^{(0)}=\\ln\\left|\\frac{P(0|AI)}{P(0|BI)}\\right|=\\ln2/3\nΔlnQH(1)=ln\nP(1∣BI)P(1∣AI)\n=ln2,ΔlnQH(0)=ln\nP(0∣BI)P(0∣AI)\n=ln2/3\n所以随着实验数据的增长，lnQH\\ln Q_HlnQH 线性变化，到达某个值时，我们可以开始下判断. 这个概率影响的是 lnQH\\ln Q_HlnQH 的斜率，也就影响我们需要多少次实验才能下判断.\n\n而先验在这里影响的是图像上的截距，比如如果有 5 个好的硬币，1 个坏的硬币，那么我们一开始拿到的就更可能是好的硬币."])self.__next_f.push([1,"1c:[\"$\",\"meta\",\"5\",{\"property\":\"og:description\",\"content\":\"$25\"}]\n1d:[\"$\",\"meta\",\"6\",{\"property\":\"og:site_name\",\"content\":\"Citrus\"}]\n1e:[\"$\",\"meta\",\"7\",{\"property\":\"og:type\",\"content\":\"article\"}]\n1f:[\"$\",\"meta\",\"8\",{\"property\":\"article:published_time\",\"content\":\"2025-10-16T13:56:04.000Z\"}]\n20:[\"$\",\"meta\",\"9\",{\"name\":\"twitter:card\",\"content\":\"summary_large_image\"}]\n21:[\"$\",\"meta\",\"10\",{\"name\":\"twitter:title\",\"content\":\"Lesson 5 Model Selection\"}]\n26:T1a45,"])self.__next_f.push([1,"订阅更新(RSS/Atom): 提示\nQuizzes\n概率论的乘法规则是什么？\nP(AB∣I)=P(A∣BI)P(B∣I)=P(B∣AI)P(A∣I)P(AB|I)=P(A|BI)P(B|I)=P(B|AI)P(A|I)\nP(AB∣I)=P(A∣BI)P(B∣I)=P(B∣AI)P(A∣I)\n(我们再次再次回顾这个规则)\n概率论的加法规则是什么？\nP(A∣I)+P(Aˉ∣I)=1P(A|I)+P(\\bar{A}|I)=1\nP(A∣I)+P(Aˉ∣I)=1\n加法规则的推广？\nP(A+B∣I)=P(A∣I)+P(B∣I)-P(AB∣I)P(A+B|I)=P(A|I)+P(B|I)-P(AB|I)\nP(A+B∣I)=P(A∣I)+P(B∣I)-P(AB∣I)\n如果 AAA 和 BBB 互斥，最后一项就没有了.\n给出表达式：\nPrior (先验)？\nP(H∣I)P(H|I)\nP(H∣I)\nLikelihood (似然)？\nP(D∣HI)P(D|HI)\nP(D∣HI)\nPosterior (后验)？\nP(H∣DI)P(H|DI)\nP(H∣DI)\nEvidence (证据)？\nP(D∣I)P(D|I)\nP(D∣I)\nBayes' Theorem？\nP(H∣DI)=P(D∣HI)P(H∣I)P(D∣I)P(H|DI) = \\frac{P(D|HI)P(H|I)}{P(D|I)}\nP(H∣DI)=P(D∣I)P(D∣HI)P(H∣I)\n在一个合理的先验下，更多的数据对后验造成什么影响？\n后验更接近真相了.\n后验变宽，包含了真值.\n后验的峰值更窄，接近真值.\n取决于先验，无法分辨.\n答案应该选 a. 和 c.，因为后验应该是变窄的、向真值集中，而且数据越多我们了解的程度一定更深；但是如果真值有两个峰值，c. 也有可能是错的.\n有哪些估计真值的方式？这几种方法分别如何估计误差？\n我们可以用均值、中位数或者峰值来估计.\n均值估计的误差是用标准差来估计的.\n中位数估计的误差是用百分位数估计的.\n峰值估计的误差可以用「作水平线划定 68%68\\%68% 的方法」估计.\n但是峰值估计没有其他两个那么好的性质.\n什么方法能够最好地呈现一个复杂的后验？\n直接上图！\n怎么算一个后验 p(θ)p(\\theta)p(θ) 的均值和标准差？\nμ=\intθp(θ)dθ ,σ=\int(θ-μ)2p(θ)dθ\\mu=\\int\\theta p(\\theta)\\text{d}\\theta\\,,\\quad\\sigma=\\sqrt{\\int(\\theta-\\mu)^2p(\\theta)\\text{d}\\theta}\nμ=\intθp(θ)dθ,σ=\int(θ-μ)2p(θ)dθ\n\n找到下述表述对应的概念：\n能够最小化误差平方的估计方式：均值估计.\n能够最小化绝对误差的估计方式：中值估计.\n能够最大化后验密度的估计方式：MAP (Maximum a Posteriori)，峰值估计.\n重参数化不影响结果的估计方式：中值估计 (任意百分位数估计).\n判断题：\n三种估计在对称且单峰的先验下，得到的真值等价.\n标准差 = 16 / 84 百分位数的对称且单峰的先验，均值估计和中值估计等价. 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