引言

前置阅读：建议先阅读向量和三角函数。

引擎语境：本文主要以 Unity / C# 视角讲解，物理更新建议放在 FixedUpdate 中。

运动学 (Kinematics) 关注的是物体如何移动，而不关心为什么移动（那是动力学的事）。 在游戏中，这通常意味着根据速度和加速度更新物体的位置。 换句话说，本篇就是把“速度、加速度”这些物理课里的概念，翻译成一帧一帧更新角色位置的代码。

1. 基础公式：速度与加速度

在经典力学中，如果加速度 \(a\) 近似恒定，则在时间 \(t\) 内： \[ v = v_0 + a t \] \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

在离散时间步长 \(\Delta t\) 的游戏循环中，我们用近似公式来更新： \[ Velocity_{new} = Velocity_{old} + Acceleration \times \Delta t \] \[ Position_{new} = Position_{old} + Velocity \times \Delta t \]

这里： - \(Velocity\) 表示当前速度向量（位置每秒变化量）。 - \(Acceleration\) 表示每秒速度的变化量（如重力、推力）。 - \(\Delta t\) 通常使用 Time.fixedDeltaTime，保证物理更新稳定。

2. 积分器 (Integrators)

在计算机中，时间不是连续的，而是离散的帧 (\(\Delta t\))。我们需要用数值积分来近似计算位置。

显式欧拉积分 (Explicit Euler)

这是最简单也是最常用的方法（如 Unity 的 Rigidbody 默认行为）。

void Update(float dt) {
  velocity += acceleration * dt;
  position += velocity * dt;
}

• 优点: 极易实现。
• 缺点: 精度低，能量不守恒。随着时间推移，误差会累积（例如：绕地球卫星会逐渐飞离轨道）。

韦尔莱积分 (Verlet Integration)

这种方法不显式存储速度，而是通过当前位置和上一帧位置来推导速度。 \[ x_{new} = 2x_{current} - x_{old} + a \cdot \Delta t^2 \]

void Update(float dt) {
  Vector3 temp = position;
  position = 2 * position - oldPosition + acceleration * dt * dt;
  oldPosition = temp;
}

• 优点: 非常稳定，特别适合模拟布料、绳索和布娃娃系统 (Ragdolls)。它能自动保持约束条件。
• 缺点: 处理变长帧率 (Variable Time Step) 比较麻烦，通常需要固定的 FixedUpdate。

其他积分器简介

半隐式欧拉 (Symplectic Euler) 是游戏中最常用的积分器——它只是把”先更新速度再更新位置”的顺序换了一下，但稳定性比显式欧拉好很多：

// 半隐式欧拉（推荐）
velocity += acceleration * dt;  // 先更新速度
position += velocity * dt;      // 再用新速度更新位置

对于绝大多数游戏来说，半隐式欧拉 + 固定时间步长就足够了。只有当你需要长时间高精度模拟（如行星轨道）时，才需要考虑 RK4。

3. 抛物线运动 (Projectile Motion)

在射击游戏中，我们经常需要预测炮弹的落点。 如果不考虑空气阻力，水平方向是匀速运动，垂直方向是匀加速运动（重力）。

\[ x(t) = x_0 + v_{x0} t \] \[ y(t) = y_0 + v_{y0} t - \frac{1}{2} g t^2 \]

瞄准算法

已知起点 \(P\) 和目标 \(T\)，以及炮弹速度 \(v\)，求发射角度 \(\theta\)。 这是一个经典的物理问题。通过消除时间变量 \(t\)，我们可以得到一个关于 \(\tan \theta\) 的一元二次方程。

代码实现:

float? CalculateLaunchAngle(Vector3 start, Vector3 target, float v, float g = 9.81f) {
  float x = Vector3.Distance(new Vector3(start.x, 0, start.z), new Vector3(target.x, 0, target.z));
  float y = target.y - start.y;
  
  float v2 = v * v;
  float v4 = v2 * v2;
  float term = v4 - g * (g * x * x + 2 * y * v2);
  
  if (term < 0) return null; // 目标太远，打不到
  
  // 通常有两个解：高抛和低抛。这里返回低抛角度（直射）。
  float tanTheta = (v2 - Mathf.Sqrt(term)) / (g * x);
  return Mathf.Atan(tanTheta) * Mathf.Rad2Deg;
}

总结

• 对于简单的角色移动，欧拉积分足够了。
• 对于绳索、布料或高精度物理，考虑使用韦尔莱积分。
• 永远使用 Time.fixedDeltaTime 进行物理模拟，以保证确定性。

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