引言

前置阅读：建议先阅读向量（点积、归一化）。

“距离”是游戏中判断互动的核心标准。 - 玩家是否进入了怪物的攻击范围？ - 赛车离终点还有多远？ - 摄像机是否穿墙了？

1. 距离公式

欧几里得距离 (Euclidean Distance)

这是最常用的直线距离。 \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \]

在代码中：

float dist = Vector3.Distance(a, b);
// 或者
float dist = (a - b).magnitude;

曼哈顿距离 (Manhattan Distance)

在网格地图（如《火焰纹章》或《文明》）中，你不能斜着走，只能沿格子走。此时距离是 x 轴差值与 y 轴差值的和。 \[ d = |x_2-x_1| + |y_2-y_1| \]

性能优化：平方距离 (Squared Distance)

计算 sqrt (开平方) 是一个相对昂贵的操作。 如果你只是想比较距离（例如：谁离我更近？或者是否在攻击范围内？），你完全不需要开平方。

判断 dist < range 等价于判断 distSq < range * range。

float distSq = (target.position - player.position).sqrMagnitude;
float attackRangeSq = attackRange * attackRange;

if (distSq < attackRangeSq) {
  // 在攻击范围内
}

这在需要检测成百上千个物体时能显著提升性能。

2. 点与平面 (Point & Plane)

平面在游戏中通常用于墙壁、地面或触发区域。 一个平面由一个法线 (Normal) \(\vec{n}\) 和一个距离常数 \(d\) 定义。 方程：\(\vec{n} \cdot P + d = 0\)

有符号距离 (Signed Distance)

将任意点 \(P\) 代入平面方程，得到的结果不仅仅是 0。 \[ dist = \vec{n} \cdot P + d \]

• dist > 0: 点在平面的正面。
• dist = 0: 点在平面上。
• dist < 0: 点在平面的背面。

游戏应用

• 穿墙检测: 如果上一帧 dist > 0，这一帧 dist < 0，说明穿过了平面。
• 背面剔除: 渲染时，如果三角形法线指向屏幕内侧，就不渲染它。

3. 点与直线 (Point & Line)

如何计算点 \(P\) 到直线 \(AB\) 的最短距离？

向量投影回顾

点到直线距离的计算本质是向量投影。如果你对投影的概念还不太熟悉，可以回顾向量一章中的投影部分。

核心思想：将 \(\vec{AP}\) 投影到直线方向 \(\vec{AB}\) 上，投影点就是直线上离 \(P\) 最近的点。\(P\) 到该投影点的距离就是所求。

这需要用到投影 (Projection)。

1. 计算向量 \(\vec{AP} = P - A\)。
2. 计算直线方向 \(\vec{AB} = B - A\) 并归一化为 \(\vec{u}\)。
3. 计算投影长度 \(t = \vec{AP} \cdot \vec{u}\)。
4. 最近点 \(C = A + \vec{u} \times t\)。

• 注意：如果线段有限长，需要限制 \(t\) 在 \([0, length]\) 之间。

5. 距离 = \(|P - C|\)。

这在赛车游戏中非常有用，用于计算车辆偏离赛道中心线的距离。

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