引言

前置阅读：建议先阅读向量，本文假设你已理解向量的加减法、点积和叉积。

如果说向量是游戏世界的”积木”，那么矩阵 (Matrix) 就是”胶水”。 矩阵的主要作用是变换 (Transformation)。它能把一个物体从一个位置移动到另一个位置，旋转它，缩放它，甚至把它从 3D 世界投影到 2D 屏幕上。

1. 什么是矩阵？

在 3D 游戏开发中，我们最常用的是 4x4 矩阵。它是一个 4 行 4 列的数字网格。

\[ M = \begin{bmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} \]

为什么是 4x4？

因为我们需要处理 3D 坐标 \((x, y, z)\)。 但是，3x3 矩阵只能表示线性变换（旋转、缩放），无法表示平移 (Translation)。 为了统一处理平移、旋转和缩放，我们引入了齐次坐标 (Homogeneous Coordinates)，即增加第四个分量 \(w\)。 一个 3D 点表示为 \((x, y, z, 1)\)，一个 3D 向量表示为 \((x, y, z, 0)\)。

齐次坐标的妙处：向量的 \(w=0\) 意味着平移矩阵对方向向量不起作用——把方向”平移”没有意义，矩阵自动帮你处理了这个语义区分。

2. 基础变换

平移矩阵 (Translation)

将物体移动 \((tx, ty, tz)\)。 \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & tx \\ 0 & 1 & 0 & ty \\ 0 & 0 & 1 & tz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

缩放矩阵 (Scale)

将物体在各轴上缩放 \((sx, sy, sz)\)。 \[ \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & sz & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

旋转矩阵 (Rotation)

绕各轴旋转。例如绕 Z 轴旋转 \(\theta\)： \[ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Unity 中的 TRS 代码实践

在 Unity 中，Matrix4x4 提供了直接构造 TRS 矩阵的 API：

// 构造 TRS 矩阵：先缩放，再旋转，最后平移
Vector3 pos = new Vector3(3f, 0f, 5f);
Quaternion rot = Quaternion.Euler(0f, 90f, 0f);
Vector3 scale = new Vector3(2f, 2f, 2f);

Matrix4x4 trs = Matrix4x4.TRS(pos, rot, scale);

// 将本地空间的点变换到世界空间
Vector3 localPoint = new Vector3(1f, 0f, 0f);
Vector3 worldPoint = trs.MultiplyPoint3x4(localPoint);
// worldPoint ≈ (3, 0, 7)  — 先放大2倍得(2,0,0)，绕Y轴转90°得(0,0,2)，再平移得(3,0,7)

MultiplyPoint3x4 vs MultiplyPoint：前者跳过透视除法（适用于仿射变换，更快），后者处理 \(w \neq 1\) 的情况（投影矩阵需要）。变换普通顶点位置时用 MultiplyPoint3x4 即可。

3. 矩阵乘法与组合变换

矩阵最强大的地方在于组合。 如果你想先把物体放大 2 倍，然后绕 Y 轴旋转 90 度，再向前移动 10 米。你不需要分别对每个顶点做三次计算。 你可以将这三个矩阵相乘，得到一个模型矩阵 (Model Matrix)，然后只用这个矩阵乘以顶点即可。

乘法顺序很重要！

矩阵乘法不满足交换律。\(A \times B \neq B \times A\)。 在大多数游戏引擎（如 Unity，使用列向量）中，变换顺序是从右向左读的： \[ M_{final} = M_{translate} \times M_{rotate} \times M_{scale} \] 这意味着：先缩放，再旋转，最后平移。（这是最常用的顺序，也就是 TRS）。

为什么是 TRS 顺序？ 如果先平移再缩放，平移量也会被放大；如果先平移再旋转，物体会绕世界原点”公转”而非”自转”。TRS 确保缩放和旋转作用于物体本身，平移最后将它放到世界中。

// 手动组合与 TRS 等价
Matrix4x4 T = Matrix4x4.Translate(pos);
Matrix4x4 R = Matrix4x4.Rotate(rot);
Matrix4x4 S = Matrix4x4.Scale(scale);
Matrix4x4 manual = T * R * S;  // 等价于 Matrix4x4.TRS(pos, rot, scale)

4. MVP 变换与坐标系转换

矩阵的本质是坐标系转换。 在渲染管线中，顶点要经历一系列”空间跳跃”：

1. 本地空间 (Local/Object Space): 模型的原始坐标，由建模软件定义。
2. 世界空间 (World Space): 乘以 Model Matrix（即 TRS）。物体在游戏世界中的位置。
3. 观察空间 (View/Eye Space): 乘以 View Matrix。以摄像机为原点、摄像机前方为 \(-Z\) 轴的坐标系。
4. 裁剪空间 (Clip Space): 乘以 Projection Matrix。应用透视或正交投影，准备投影到屏幕。

\[ P_{clip} = M_{projection} \times M_{view} \times M_{model} \times P_{local} \]

这就是著名的 MVP 变换 (Model-View-Projection)。

Model Matrix

就是上面说的 TRS——将顶点从本地空间送到世界空间。Unity 中 transform.localToWorldMatrix 就是它。

View Matrix

View Matrix 将整个世界”搬到”摄像机前面。本质上，它是摄像机 Model Matrix 的逆矩阵（参见第 5 节：逆矩阵）。摄像机在世界空间有自己的位置和朝向，对它取逆就等于”把世界反向移动和旋转”，让摄像机回到原点看向 \(-Z\)。

// Unity 中获取 VP 矩阵
Matrix4x4 view = camera.worldToCameraMatrix;
Matrix4x4 proj = camera.projectionMatrix;
Matrix4x4 vp = proj * view;

Projection Matrix

将 3D 的视锥体 (Frustum) 映射到标准化设备坐标 (NDC)。两种常见类型： - 透视投影 (Perspective)：近大远小，用于大多数 3D 游戏。 - 正交投影 (Orthographic)：无近大远小，用于 2D 游戏、UI 或建筑可视化。

5. 逆矩阵

什么是逆矩阵？

矩阵 \(M\) 的逆矩阵 \(M^{-1}\) 满足： \[ M \times M^{-1} = M^{-1} \times M = I \]

其中 \(I\) 是单位矩阵 (Identity Matrix)。直觉上，逆矩阵就是”撤销”变换。如果 \(M\) 把物体从 A 移到 B，那么 \(M^{-1}\) 就把它从 B 移回 A。

游戏中的典型用途

• View Matrix：如前所述，View Matrix = 摄像机世界矩阵的逆。\(M_{view} = M_{camera}^{-1}\)。
• 世界坐标 → 本地坐标：点击检测时，需要把鼠标射线从世界空间变换回物体的本地空间：

// 将世界空间的点转换到物体的本地空间
Matrix4x4 worldToLocal = transform.worldToLocalMatrix; // = localToWorldMatrix 的逆
Vector3 localHitPoint = worldToLocal.MultiplyPoint3x4(worldHitPoint);

• 骨骼动画：绑定姿态 (Bind Pose) 的逆矩阵用于将顶点从模型空间转换到骨骼空间，然后再由当前骨骼姿态矩阵变换回来。

Unity API

Matrix4x4 inv = myMatrix.inverse;  // 通用求逆（计算量较大）

性能提示：通用 4x4 矩阵求逆涉及行列式和伴随矩阵，计算开销不小。对于纯旋转矩阵，逆等于转置 (\(R^{-1} = R^T\))；对于 TRS 矩阵，可以分别对 T、R、S 求逆再反序组合，比通用算法更快。Unity 内部会做类似优化。

6. 法线变换

为什么法线不能直接用 Model Matrix 变换？

这是一个经典的图形学”坑”。对于位置和切线向量，直接乘以 Model Matrix 没有问题。但法线 (Normal) 不行——当物体有非均匀缩放 (Non-uniform Scale) 时，直接变换法线会导致方向错误。

直觉理解：假设一个球体沿 X 轴压扁变成椭球。表面法线本来垂直于表面，如果和顶点做相同的缩放，法线就不再垂直于压扁后的表面了。

正确做法：逆转置矩阵

法线应该用 Model Matrix 的逆转置矩阵 (Inverse-Transpose) 来变换： \[ \vec{n}_{world} = (M^{-1})^T \cdot \vec{n}_{local} \]

数学证明（简略）：法线 \(\vec{n}\) 垂直于切线 \(\vec{t}\)，即 \(\vec{n}^T \cdot \vec{t} = 0\)。变换后我们需要 \(\vec{n'}^T \cdot \vec{t'} = 0\)。切线变换为 \(\vec{t'} = M \cdot \vec{t}\)，代入推导可得 \(\vec{n'} = (M^{-1})^T \cdot \vec{n}\)。

代码实践

// C# — 计算法线变换矩阵
Matrix4x4 model = transform.localToWorldMatrix;
Matrix4x4 normalMatrix = model.inverse.transpose;

Vector3 worldNormal = normalMatrix.MultiplyVector(localNormal).normalized;

在 Shader 中，Unity 内置变量 unity_WorldToObject 就是 Model Matrix 的逆。将它转置后乘以法线即可：

// URP Shader 中的法线变换
float3 worldNormal = normalize(
    mul((float3x3)UNITY_MATRIX_I_M, objectNormal)  // UNITY_MATRIX_I_M = transpose(inverse(M))
);
// 或使用内置函数
float3 worldNormal = TransformObjectToWorldNormal(objectNormal);

优化：如果你确定模型只有均匀缩放 (Uniform Scale)，可以直接用 Model Matrix 变换法线再归一化——此时逆转置等于原矩阵的标量倍数。只有非均匀缩放时逆转置才真正有区别。

7. 旋转表示方式对比

在游戏开发中，表示旋转有三种主要方式。它们各有优劣，选择取决于使用场景。

实际工程中的选择： - 编辑器/UI：欧拉角——策划和美术人员最容易理解。 - 运行时存储和插值：四元数——紧凑、无万向节死锁、插值平滑。 - Shader 和批量顶点变换：矩阵——GPU 的矩阵乘法硬件加速。

// 三种表示之间的转换 (Unity)
Vector3 euler = new Vector3(0f, 90f, 0f);
Quaternion quat = Quaternion.Euler(euler);
Matrix4x4 mat = Matrix4x4.Rotate(quat);

// 反向转换
Quaternion backToQuat = mat.rotation;
Vector3 backToEuler = quat.eulerAngles;

关于四元数的详细原理、Slerp 插值和万向节死锁的深入分析，请看 下一篇：四元数。

总结

• 矩阵用于存储和组合变换（平移、旋转、缩放），4x4 矩阵配合齐次坐标统一处理一切。
• TRS 是最常用的组合顺序：先缩放，再旋转，最后平移。
• MVP 变换将顶点从模型空间经世界空间、观察空间送到裁剪空间。View Matrix 是摄像机矩阵的逆。
• 逆矩阵用于”撤销”变换，在 View Matrix、坐标转换、骨骼动画中广泛使用。
• 法线变换必须使用逆转置矩阵，否则非均匀缩放下法线方向会出错。
• 欧拉角、旋转矩阵、四元数各有所长——理解它们的取舍是 3D 开发的基本功。

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