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《几何原本》里的数
人类最早萌生的数的概念——毫不意外地——是可以用来数东西的数， 即所谓正整数。 在零星的考古发现中， 可被诠释——其中某些不排除是附会——为涉及数的概念的人类遗迹据说可回溯至数万年前。 比如在距今 30,000 多年前的兽骨上发现过疑似用来记录狩猎数量的刻度， 在距今约 20,000 年前的兽骨上发现过疑似包含某些简单加减甚至倍数概念的刻度， 等等。 到了距今 4,000‒5,000 年前 (即公元前约 2,000‒3,000 年时)， 在巴比伦、 古埃及等古代文明的遗址， 有关数的概念的 “文字记录” 已称得上铁证如山， 内容也大为拓展， 而彼时的某些宏伟建筑， 亦很难在连数的概念都不存在的情形下建造起来。
不过数学作为一门建立在推理之上——而非仅仅作为经验法则之汇集——的系统学科， 用美国数学作家克莱因 (Morris Kline) 在《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times) 一书里的话说， “在古希腊人于公元前 600 至 300 年间登场之前是不存在的” (did not exist before the classical Greeks of the period from 600 to 300 b.c. entered upon the scene)。 克莱因还比喻说， 就数学而言， “埃及人和巴比伦人是粗糙的木匠， 而希腊人是杰出的建筑师” (Egyptians and Babylonians were crude carpenters, whereas the Greeks were magnificent architects)。
在克莱因所提到的 “公元前 600 至 300 年间” 的古希腊文明中， 不仅出现过像毕达哥拉斯学派 (School of Pythagoras， 公元前 5‒6 世纪) 那样主张 “万物皆数” (all things are number)， 从而是以数学为根本的哲学流派， 很多其他 “宗师级” 的先贤——如泰勒斯 (Thales， 公元前 6 世纪)、 柏拉图 (Plato， 公元前 4‒5 世纪)、 亚里士多德 (Aristotle， 公元前 4 世纪) 等——也都赋予了数学很高的地位。 但那些最早的先贤大都是要么没留下直接的文字 (如泰勒斯和毕达哥拉斯)， 要么留下的大体是纯文字 (如柏拉图和亚里士多德)， 对数学来说是不太够的。
在这种背景下， 成书于公元前 300 年左右的欧几里得的《几何原本》 (The Elements) 就显得格外突出， 可以说是古希腊数学的集大成之作。 这其中尤其值得指出的是， 总计 13 卷的《几何原本》虽常被视为几何著作， 作者欧几里得亦被视为几何学家， 但书的内容却远远超出了几何范畴——比如第 5、 6、 10 诸卷都间杂了数的部分， 第 7、 8、 9 诸卷更是数的专卷， 被比利时裔美国科学史学家萨顿 (George Sarton) 称为数学史上 “第一部数论专著” (first treatise on the theory of number)[注一]。
在本文中， 我们将以两个有关数的命题及证明为例， 来欣赏一下《几何原本》里的数， 以及《几何原本》有关数的逻辑框架。
这两个例子都是简单的， 分别对应于 “素数有无穷多个” 及 “√2 是无理数” 这两个如今连中学生都知道且学过证明的命题。 但简单性并不能掩去它们所蕴含的智力上的光芒。 事实上， 以这两个命题为例， 乃是效仿英国数学家哈代 (G. H. Hardy) 的名著：《一位数学家的辩白》 (A Mathematician's Apology)。 在那部既浅显又深刻的名著里， 这两个命题被选为了数学定理的仅有的例子， 且被冠以了 “毫无疑问是最高等级的定理” (there is no doubt at all about their being theorems of the highest class) 之美誉。 哈代还表示， “两千年的时光不曾在其上刻下丝毫褶痕” (two thousand years have not written a wrinkle on either of them)。 当然， 对数学来说， 这其实是常态， 因为在数学——并且也只在数学——中， 一个定理一旦被证明， 就永远是定理， 无论多久的时光也不能抹去它。
选这两个例子的另一个原因， 是如今流行的绝大多数远古数学定理的陈述及证明， 往往经过了后人的优化、 补漏， 乃至另起炉灶， 而本文所要介绍的， 是原貌， 是那两个命题在《几何原本》里的原始表述及原始证明。 之所以介绍原貌， 不仅是因为对于有好奇心的读者来说， 了解原貌或许是不无趣味的， 而且也是因为那原貌对于我们窥视先贤们的思维是一扇不可多得的窗户。
为了对《几何原本》有关数的逻辑框架有一个大略了解， 让我们从以下几个跟数有关的定义开始这种介绍 (这些定义的一部分将会在那两个例子的陈述及证明中用到——这是罗列它们的另一重目的)：
这些定义都罗列在第 7 卷的卷首 (该卷是 7、 8、 9 三卷中唯一包含定义的)， 所附之英文来自希腊数学史专家托马斯·希斯 (Thomas Heath)， 中文则译自英文。
这些定义针对的是我们称之为自然数 (natural number) 的数， 基本思路是从 “1” 出发——跟几何部分的从 “点” 和 “线” 出发相类似。 不过《几何原本》对基本概念的定义虽然都是描述性的， 但跟 “点” 和 “线” 的描述性定义被现代公理体系彻底抛弃不同， 上述定义将 “1” 跟表征 “存在之物” 的 “单元” 联系起来的做法， 却直至近代仍在一定程度上得到了承袭。 比如数学基础流派之一的逻辑主义 (Logicism) 的先驱人物弗雷格 (Gottlob Frege) 将自然数定义为元素个数等于该自然数的所有集合的集合[注二]， 就在一定程度上跟上述定义相类似： 其中的 “元素” 本质上就是一种 “单元” (两者都是泛指某种 “存在之物”)， 而所谓 “元素个数等于该自然数” 跟上述定义中的 “数是由若干单元组成的” 亦不无类似。
当然， 上述定义也存在一些显而易见的缺陷： 比如定义 15 用 “相加” 定义了相乘， 却未对 “相加” 先予定义 (未被本文罗列的定义都不是关于 “相加” 的)[注三]； 比如定义 7 的后半句 (“或与某个偶数相差一个单元的数”) 及定义 18 的后半句 “或被两个相等的数所包含的数” 从定义的角度讲皆属多余， 若视为等价定义， 则又缺了对等价性的证明。 此外， 跟现代公理体系用公理本身来界定基本概念的做法相比， 描述性定义所具有的系统缺陷 (即对一个概念的描述势必用到其它概念， 从而要么不了了之， 要么循环定义) 自然也是上述定义的缺陷。
关于上述定义， 还可补充以下几点评论：
介绍完了跟数有关的上述定义， 下面就可以来欣赏前面 “预告” 过的那两个命题及证明了。 我们将会看到， 跟现代读者熟悉的形式相比， 《几何原本》对那两个命题的叙述及证明一个仿佛简化版， 另一个则为推广版。 因篇幅所限， 同时考虑到证明本身足够简单， 且一定程度上已为现代读者所熟悉， 我们不拟逐字逐句复述细节， 而将只介绍思路， 并着重点评其与现代证明的相异之处。
我们先看前者——即对应于 “素数有无穷多个” 的命题及证明。 这在《几何原本》里被编排为第 9 卷的命题 20， 其陈述为：
《几何原本》对这一命题的证明以 “设 A、 B、 C 是指定的素数。 我说， 存在比 A、 B、 C 更多的素数” (Let A, B, C be the assigned prime numbers, I say that there are more prime numbers than A, B, C) 为引言， 用的是跟现代证明一样的归谬法 (reductio ad absurdum)， 本质上是证明 A、 B、 C 的最小公倍数加 1 要么是素数——这种情况下它本身就属于 “比 A、 B、 C 更多的素数” (因为它显然不同于 A、 B、 C)， 从而命题已然确立； 要么能被某个素数 “量尽” (因为任一合数可被某个素数量尽已被第 7 卷的命题 31 所确立)——这种情况下那个素数不可能是 A、 B、 C 中的任何一个 (因为否则的话， 那个素数将能同时量尽 A、 B、 C 的最小公倍数及 A、 B、 C 的最小公倍数加 1， 从而必须能量尽 1， 而那是——用《几何原本》的原话说——荒谬的)， 从而属于 “比 A、 B、 C 更多的素数”。 Q.E.D. (证毕)
跟最常见的现代证明相比[注四]， 上述证明在思路上完全相同， 只是细节上存在一个仿佛简化版的小瑕疵， 即用 3 个指定素数取代了现代证明中的任意多个指定素数。 物理学家伽莫夫 (George Gamow) 在名著《从一到无穷大》 (One, Two, Three... Infinity) 的开篇曾讲述过一个小笑话： 两位匈牙利贵族比赛谁能说出最大的数， 结果先说的那位说了 “3”， 另一位直接认输。 伽莫夫幽默地总结道， 那两位贵族所代表的智力无疑是不高的， 但某些远古部落用于表示数字的词汇据说确实只到 “3” 为止， 超过了就统称为 “很多”。 《几何原本》所代表的智慧自然绝非那两位贵族可比， 但用 “3” 表示任意多的做法倒是颇有 “古风”。 这个小瑕疵也说明人类数学的 “两千年的时光” 毕竟没有虚度， 如今连中学生都知道的证明也能在某些方面超越伟大的先贤。
接下来再欣赏后者——即对应于 “√2 是无理数” 的命题及证明。 这在《几何原本》里被编排为第 10 卷的命题 9， 但属于推广版——哈代在《一位数学家的辩白》里提到该命题时， 称之为 “普遍得多的形式” (a much more general form)。 这个命题的陈述比较繁琐， 为 (中译括弧里的文字或编号是出于语句衔接、 含义澄清及便于引述等目的而添加的)：
这里提到的 “可公度” (commensurable) 与 “不可公度” (incommensurable) 的概念由该卷的定义 1 所给出：
这个命题里之所以既用到 “数” 又涉及 “线段”， 是因为如 [注一] 所说， 《几何原本》对 “数” 和 “量” 作了如今看来并无必要的区分——具体地说是： “数” 本质上是整数 (相互间的比值为有理数)， “量” 则是线段长度， 可涵盖实数。 不过， 这个区分如今看来虽无必要， 却不能算是《几何原本》的缺陷， 因为作为 “数” 的实数概念是随着解方程的需要， 以及数学分析、 无穷集合论等的发展才逐步变得明晰起来， 它与线段上的点或线段长度之间的严密对应则是直到两千多年后的十九世纪后期， 才由戴德金 (Richard Dedekind)、 康托尔 (Georg Cantor) 等人确立起来的。 在那之前， 线段长度很大程度上是如今作为 “数” 的实数概念的唯一表述， 《几何原本》对 “数” 和 “量” 的区分在那样的背景下是完全无可厚非的。 而如今所谓的 “无理数”， 对应的是跟 “1” (或任何整数或整数之比) 不可公度的数。
当然， 尽管无可厚非， 我们跟《几何原本》相比， 毕竟已有两千多年的时间优势， 已无必要沿用《几何原本》的术语体系。 为叙述简明起见， 我们将只用现代读者所熟悉的 “数” 的概念来复述证明思路。
我们首先看 (1) ——其证明是直接了当的： 长度可公度的线段按定义其长度之比为整数之比， 不妨记为 m:n， 则相应的正方形 (面积) 之比为 m2:n2， 即等同于一个平方数与另一个平方数之比。 (2) 是 (1) 的逆命题 (converse)， 其证明同样直接了当： (面积) 比值等同于一个平方数与另一个平方数之比的正方形的 (面积) 比值若记为 m2:n2， 则相应的边的长度之比为 m:n ——即可公度。 至于 (3) 和 (4)， 细心的读者想必看出来了， 分别是 (2) 和 (1) 的逆否命题 (contraposition)， 从而等价于 (2) 和 (1)， 无需另行证明 (《几何原本》依然给予了证明， 相当于用两个具体例子演示了逆否命题与原命题的等价性)。
介绍完了命题的证明， 我们来看看如何用它来证明 “√2 是无理数”， 以印证前面所引的哈代赋予它的 “普遍得多的形式” 之头衔。 稍有些出乎意料的是： 这证明其实并非显而易见。 事实上， 在细读之前， 单凭哈代赋予它的头衔， 我还以为上述命题在形式上就是 “√2 是无理数” 的推广， 比如是像 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数”， 或者是像哈代本人的《数论导引》 (An Introduction to the Theory of Numbers) 里的 “除非 N 是一个整数 n 的 m 次方， 否则 m√N 是无理数” 那样的命题 (m√N is irrational, unless N is the m-th power of an integer n)。 如果《几何原本》给出的是那样的命题， 则由 2 不是平方数， 立刻便可推得 “√2 是无理数”。
可惜情况并非如此。
当然， 也有人试图套用类似上面那样的简单推理。 比如我见过如下面这样的 “证明”：
边的长度分别为 √2 和 1 的正方形的面积分别为 2 和 1， 面积之比为 2:1 ——其中 1 是平方数， 2 不是平方数， 因此这两个正方形的面积之比不是 “一个平方数与另一个平方数之比”。 由上述命题里的 (4) 可知， 它们的边的长度——即 √2 和 1 ——不可公度。 由于所谓 “无理数” 就是与 1 (或任何整数或整数之比) 不可公度的数， 因此 √2 和 1 不可公度意味着 √2 是无理数。
但这个 “证明” 有一个问题， 那就是两个整数之比有无穷多种表述， 其中只有某些能直接对应于 “一个平方数与另一个平方数之比”。 比如 4:1 是 “一个平方数与另一个平方数之比”， 但表述成 8:2 起码看起来就不是了 (因为 8 和 2 都不是平方数)。 这说明， 要想证明 2:1 不是 “一个平方数与另一个平方数之比”， 仅仅指出 2 不是平方数是不够的。
那么， 是不是哈代搞错了， 《几何原本》里的上述命题并不是一个比 “√2 是无理数” 普遍得多的形式？ 倒也不是。 因为跟《几何原本》第 7 卷的若干命题结合起来， 由上述命题确实可以得出一个比 “√2 是无理数” 普遍得多的形式——那形式事实上就是我们在前面举出过的 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数”。
下面我们就来确立这一点。
首先是： 第 2 卷的命题 14 确立了可以 “作一个 (面积) 等于给定长方形的正方形” (To construct a square equal to a given rectilineal figure)。 对我们的目的来说， “给定长方形” 的边长可选为 N 和 1， 则所作出的正方形的边长为 √N (这一步实际上给出了 √N 的存在性)。 如果这个正方形与单位正方形 (即边长为 1 的正方形) 的边的长度可公度——即如果 √N 与 1 可公度， 则由上述命题里的 (1) 可知这两个正方形的面积之比， 即 N:1， “等同于一个平方数与另一个平方数之比”， 即 N:1=p2:q2。 不失普遍性， 可假设 p2 和 q2 互素 (否则可以约去能 “共同量尽” p2 和 q2 的数——第 7 卷的命题 9 保证了约去之后的比值不变[注五])。 另一方面， 第 7 卷的命题 21 表明 “(一对) 互素的数是与它们有相同比值的数中最小的” (Numbers prime to one another are the least of those which have the same ratio with them)， 因此 p2 和 q2 互素意味着它们是能表示 p2:q2 的最小的数。 但与之相等的 N:1 显然也是能表示这一比值的最小的数 (因为 1 已经小得不能再小了)， 因此它们必须是同一对数， 即 N=p2， 1=q2。 这说明 N 必须是平方数。 为便利起见， 我们对这段推理中的两个关键的短句用了粗体字， 将之连起来就是： 如果 √N 与 1 可公度， N 必须是平方数 ——它是 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数” 的逆否命题， 从而与后者等价。
这样， 我们就从第 10 卷的命题 9 出发， 在《几何原本》有关数的逻辑框架内证明了 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数”， “√2 是无理数” 则是它的一个直接推论。 正是从这个意义上讲， 第 10 卷的命题 9 确实如哈代所说， 是比 “√2 是无理数” 普遍得多的形式。 当然， 跟 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数” 这样的简明表述相比， 《几何原本》的相对晦涩也恰恰反衬出 “两千年的时光” 带来的进步——虽然只是其中极微不足道的部分。
本文以两个有关数的命题及证明为例来欣赏《几何原本》里的数， 至此就基本完成了[注六]。 最后不妨再补充两点： 一是《几何原本》的第 10 卷共有 115 个命题， 但某些版本包含了几个额外命题， 其中一个——通常被编排为命题 117 ——恰好是现代读者所熟悉的对 “√2 是无理数” 的证明。 不过包括这一命题在内的那几个额外命题已被公认为是后人添加的。 另一点原则上跟《几何原本》无关， 但或许有些读者会有一定的好奇， 那就是： 现代读者所熟悉的对 “√2 是无理数” 的证明出自何处？ 对此， 就书面叙述而言， 我所知道的最早的证明出自亚里士多德——他在比《几何原本》早了约半个世纪的《前分析篇》 (Prior Analytics) 的第 1 卷里阐述归谬法时， 作为例证写了这样一句话： “正方形的对角线与边不可公度， 因为若假设其可公度， 奇数会等于偶数” (the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate)。 当然， 除非事先知晓证明， 否则仅凭这么一句话， 怕是只会给人一团雾水， 而不足以起到例证作用。 这种轻描淡写的语气似乎意味着亚里士多德只是在陈述一件当时的哲学家已经熟悉的事实， 可惜就书面叙述而言， 似乎并无比他更早的论述流传到今天[注七]。
那些更早的论述的失传， 也衬托出有幸流传到今天的论述——包括《几何原本》及《几何原本》里的数——的珍贵性。
2026 年 1 月 12 日完稿
2026 年 1 月 13 日发布
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《几何原本》里的数
人类最早萌生的数的概念——毫不意外地——是可以用来数东西的数， 即所谓正整数。 在零星的考古发现中， 可被诠释——其中某些不排除是附会——为涉及数的概念的人类遗迹据说可回溯至数万年前。 比如在距今 30,000 多年前的兽骨上发现过疑似用来记录狩猎数量的刻度， 在距今约 20,000 年前的兽骨上发现过疑似包含某些简单加减甚至倍数概念的刻度， 等等。 到了距今 4,000‒5,000 年前 (即公元前约 2,000‒3,000 年时)， 在巴比伦、 古埃及等古代文明的遗址， 有关数的概念的 “文字记录” 已称得上铁证如山， 内容也大为拓展， 而彼时的某些宏伟建筑， 亦很难在连数的概念都不存在的情形下建造起来。
不过数学作为一门建立在推理之上——而非仅仅作为经验法则之汇集——的系统学科， 用美国数学作家克莱因 (Morris Kline) 在《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times) 一书里的话说， “在古希腊人于公元前 600 至 300 年间登场之前是不存在的” (did not exist before the classical Greeks of the period from 600 to 300 b.c. entered upon the scene)。 克莱因还比喻说， 就数学而言， “埃及人和巴比伦人是粗糙的木匠， 而希腊人是杰出的建筑师” (Egyptians and Babylonians were crude carpenters, whereas the Greeks were magnificent architects)。
在克莱因所提到的 “公元前 600 至 300 年间” 的古希腊文明中， 不仅出现过像毕达哥拉斯学派 (School of Pythagoras， 公元前 5‒6 世纪) 那样主张 “万物皆数” (all things are number)， 从而是以数学为根本的哲学流派， 很多其他 “宗师级” 的先贤——如泰勒斯 (Thales， 公元前 6 世纪)、 柏拉图 (Plato， 公元前 4‒5 世纪)、 亚里士多德 (Aristotle， 公元前 4 世纪) 等——也都赋予了数学很高的地位。 但那些最早的先贤大都是要么没留下直接的文字 (如泰勒斯和毕达哥拉斯)， 要么留下的大体是纯文字 (如柏拉图和亚里士多德)， 对数学来说是不太够的。
在这种背景下， 成书于公元前 300 年左右的欧几里得的《几何原本》 (The Elements) 就显得格外突出， 可以说是古希腊数学的集大成之作。 这其中尤其值得指出的是， 总计 13 卷的《几何原本》虽常被视为几何著作， 作者欧几里得亦被视为几何学家， 但书的内容却远远超出了几何范畴——比如第 5、 6、 10 诸卷都间杂了数的部分， 第 7、 8、 9 诸卷更是数的专卷， 被比利时裔美国科学史学家萨顿 (George Sarton) 称为数学史上 “第一部数论专著” (first treatise on the theory of number)[注一]。
在本文中， 我们将以两个有关数的命题及证明为例， 来欣赏一下《几何原本》里的数， 以及《几何原本》有关数的逻辑框架。
这两个例子都是简单的， 分别对应于 “素数有无穷多个” 及 “√2 是无理数” 这两个如今连中学生都知道且学过证明的命题。 但简单性并不能掩去它们所蕴含的智力上的光芒。 事实上， 以这两个命题为例， 乃是效仿英国数学家哈代 (G. H. Hardy) 的名著：《一位数学家的辩白》 (A Mathematician's Apology)。 在那部既浅显又深刻的名著里， 这两个命题被选为了数学定理的仅有的例子， 且被冠以了 “毫无疑问是最高等级的定理” (there is no doubt at all about their being theorems of the highest class) 之美誉。 哈代还表示， “两千年的时光不曾在其上刻下丝毫褶痕” (two thousand years have not written a wrinkle on either of them)。 当然， 对数学来说， 这其实是常态， 因为在数学——并且也只在数学——中， 一个定理一旦被证明， 就永远是定理， 无论多久的时光也不能抹去它。
选这两个例子的另一个原因， 是如今流行的绝大多数远古数学定理的陈述及证明， 往往经过了后人的优化、 补漏， 乃至另起炉灶， 而本文所要介绍的， 是原貌， 是那两个命题在《几何原本》里的原始表述及原始证明。 之所以介绍原貌， 不仅是因为对于有好奇心的读者来说， 了解原貌或许是不无趣味的， 而且也是因为那原貌对于我们窥视先贤们的思维是一扇不可多得的窗户。
为了对《几何原本》有关数的逻辑框架有一个大略了解， 让我们从以下几个跟数有关的定义开始这种介绍 (这些定义的一部分将会在那两个例子的陈述及证明中用到——这是罗列它们的另一重目的)：
这些定义都罗列在第 7 卷的卷首 (该卷是 7、 8、 9 三卷中唯一包含定义的)， 所附之英文来自希腊数学史专家托马斯·希斯 (Thomas Heath)， 中文则译自英文。
这些定义针对的是我们称之为自然数 (natural number) 的数， 基本思路是从 “1” 出发——跟几何部分的从 “点” 和 “线” 出发相类似。 不过《几何原本》对基本概念的定义虽然都是描述性的， 但跟 “点” 和 “线” 的描述性定义被现代公理体系彻底抛弃不同， 上述定义将 “1” 跟表征 “存在之物” 的 “单元” 联系起来的做法， 却直至近代仍在一定程度上得到了承袭。 比如数学基础流派之一的逻辑主义 (Logicism) 的先驱人物弗雷格 (Gottlob Frege) 将自然数定义为元素个数等于该自然数的所有集合的集合[注二]， 就在一定程度上跟上述定义相类似： 其中的 “元素” 本质上就是一种 “单元” (两者都是泛指某种 “存在之物”)， 而所谓 “元素个数等于该自然数” 跟上述定义中的 “数是由若干单元组成的” 亦不无类似。
当然， 上述定义也存在一些显而易见的缺陷： 比如定义 15 用 “相加” 定义了相乘， 却未对 “相加” 先予定义 (未被本文罗列的定义都不是关于 “相加” 的)[注三]； 比如定义 7 的后半句 (“或与某个偶数相差一个单元的数”) 及定义 18 的后半句 “或被两个相等的数所包含的数” 从定义的角度讲皆属多余， 若视为等价定义， 则又缺了对等价性的证明。 此外， 跟现代公理体系用公理本身来界定基本概念的做法相比， 描述性定义所具有的系统缺陷 (即对一个概念的描述势必用到其它概念， 从而要么不了了之， 要么循环定义) 自然也是上述定义的缺陷。
关于上述定义， 还可补充以下几点评论：
介绍完了跟数有关的上述定义， 下面就可以来欣赏前面 “预告” 过的那两个命题及证明了。 我们将会看到， 跟现代读者熟悉的形式相比， 《几何原本》对那两个命题的叙述及证明一个仿佛简化版， 另一个则为推广版。 因篇幅所限， 同时考虑到证明本身足够简单， 且一定程度上已为现代读者所熟悉， 我们不拟逐字逐句复述细节， 而将只介绍思路， 并着重点评其与现代证明的相异之处。
我们先看前者——即对应于 “素数有无穷多个” 的命题及证明。 这在《几何原本》里被编排为第 9 卷的命题 20， 其陈述为：
《几何原本》对这一命题的证明以 “设 A、 B、 C 是指定的素数。 我说， 存在比 A、 B、 C 更多的素数” (Let A, B, C be the assigned prime numbers, I say that there are more prime numbers than A, B, C) 为引言， 用的是跟现代证明一样的归谬法 (reductio ad absurdum)， 本质上是证明 A、 B、 C 的最小公倍数加 1 要么是素数——这种情况下它本身就属于 “比 A、 B、 C 更多的素数” (因为它显然不同于 A、 B、 C)， 从而命题已然确立； 要么能被某个素数 “量尽” (因为任一合数可被某个素数量尽已被第 7 卷的命题 31 所确立)——这种情况下那个素数不可能是 A、 B、 C 中的任何一个 (因为否则的话， 那个素数将能同时量尽 A、 B、 C 的最小公倍数及 A、 B、 C 的最小公倍数加 1， 从而必须能量尽 1， 而那是——用《几何原本》的原话说——荒谬的)， 从而属于 “比 A、 B、 C 更多的素数”。 Q.E.D. (证毕)
跟最常见的现代证明相比[注四]， 上述证明在思路上完全相同， 只是细节上存在一个仿佛简化版的小瑕疵， 即用 3 个指定素数取代了现代证明中的任意多个指定素数。 物理学家伽莫夫 (George Gamow) 在名著《从一到无穷大》 (One, Two, Three... Infinity) 的开篇曾讲述过一个小笑话： 两位匈牙利贵族比赛谁能说出最大的数， 结果先说的那位说了 “3”， 另一位直接认输。 伽莫夫幽默地总结道， 那两位贵族所代表的智力无疑是不高的， 但某些远古部落用于表示数字的词汇据说确实只到 “3” 为止， 超过了就统称为 “很多”。 《几何原本》所代表的智慧自然绝非那两位贵族可比， 但用 “3” 表示任意多的做法倒是颇有 “古风”。 这个小瑕疵也说明人类数学的 “两千年的时光” 毕竟没有虚度， 如今连中学生都知道的证明也能在某些方面超越伟大的先贤。
接下来再欣赏后者——即对应于 “√2 是无理数” 的命题及证明。 这在《几何原本》里被编排为第 10 卷的命题 9， 但属于推广版——哈代在《一位数学家的辩白》里提到该命题时， 称之为 “普遍得多的形式” (a much more general form)。 这个命题的陈述比较繁琐， 为 (中译括弧里的文字或编号是出于语句衔接、 含义澄清及便于引述等目的而添加的)：
这里提到的 “可公度” (commensurable) 与 “不可公度” (incommensurable) 的概念由该卷的定义 1 所给出：
这个命题里之所以既用到 “数” 又涉及 “线段”， 是因为如 [注一] 所说， 《几何原本》对 “数” 和 “量” 作了如今看来并无必要的区分——具体地说是： “数” 本质上是整数 (相互间的比值为有理数)， “量” 则是线段长度， 可涵盖实数。 不过， 这个区分如今看来虽无必要， 却不能算是《几何原本》的缺陷， 因为作为 “数” 的实数概念是随着解方程的需要， 以及数学分析、 无穷集合论等的发展才逐步变得明晰起来， 它与线段上的点或线段长度之间的严密对应则是直到两千多年后的十九世纪后期， 才由戴德金 (Richard Dedekind)、 康托尔 (Georg Cantor) 等人确立起来的。 在那之前， 线段长度很大程度上是如今作为 “数” 的实数概念的唯一表述， 《几何原本》对 “数” 和 “量” 的区分在那样的背景下是完全无可厚非的。 而如今所谓的 “无理数”， 对应的是跟 “1” (或任何整数或整数之比) 不可公度的数。
当然， 尽管无可厚非， 我们跟《几何原本》相比， 毕竟已有两千多年的时间优势， 已无必要沿用《几何原本》的术语体系。 为叙述简明起见， 我们将只用现代读者所熟悉的 “数” 的概念来复述证明思路。
我们首先看 (1) ——其证明是直接了当的： 长度可公度的线段按定义其长度之比为整数之比， 不妨记为 m:n， 则相应的正方形 (面积) 之比为 m2:n2， 即等同于一个平方数与另一个平方数之比。 (2) 是 (1) 的逆命题 (converse)， 其证明同样直接了当： (面积) 比值等同于一个平方数与另一个平方数之比的正方形的 (面积) 比值若记为 m2:n2， 则相应的边的长度之比为 m:n ——即可公度。 至于 (3) 和 (4)， 细心的读者想必看出来了， 分别是 (2) 和 (1) 的逆否命题 (contraposition)， 从而等价于 (2) 和 (1)， 无需另行证明 (《几何原本》依然给予了证明， 相当于用两个具体例子演示了逆否命题与原命题的等价性)。
介绍完了命题的证明， 我们来看看如何用它来证明 “√2 是无理数”， 以印证前面所引的哈代赋予它的 “普遍得多的形式” 之头衔。 稍有些出乎意料的是： 这证明其实并非显而易见。 事实上， 在细读之前， 单凭哈代赋予它的头衔， 我还以为上述命题在形式上就是 “√2 是无理数” 的推广， 比如是像 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数”， 或者是像哈代本人的《数论导引》 (An Introduction to the Theory of Numbers) 里的 “除非 N 是一个整数 n 的 m 次方， 否则 m√N 是无理数” 那样的命题 (m√N is irrational, unless N is the m-th power of an integer n)。 如果《几何原本》给出的是那样的命题， 则由 2 不是平方数， 立刻便可推得 “√2 是无理数”。
可惜情况并非如此。
当然， 也有人试图套用类似上面那样的简单推理。 比如我见过如下面这样的 “证明”：
边的长度分别为 √2 和 1 的正方形的面积分别为 2 和 1， 面积之比为 2:1 ——其中 1 是平方数， 2 不是平方数， 因此这两个正方形的面积之比不是 “一个平方数与另一个平方数之比”。 由上述命题里的 (4) 可知， 它们的边的长度——即 √2 和 1 ——不可公度。 由于所谓 “无理数” 就是与 1 (或任何整数或整数之比) 不可公度的数， 因此 √2 和 1 不可公度意味着 √2 是无理数。
但这个 “证明” 有一个问题， 那就是两个整数之比有无穷多种表述， 其中只有某些能直接对应于 “一个平方数与另一个平方数之比”。 比如 4:1 是 “一个平方数与另一个平方数之比”， 但表述成 8:2 起码看起来就不是了 (因为 8 和 2 都不是平方数)。 这说明， 要想证明 2:1 不是 “一个平方数与另一个平方数之比”， 仅仅指出 2 不是平方数是不够的。
那么， 是不是哈代搞错了， 《几何原本》里的上述命题并不是一个比 “√2 是无理数” 普遍得多的形式？ 倒也不是。 因为跟《几何原本》第 7 卷的若干命题结合起来， 由上述命题确实可以得出一个比 “√2 是无理数” 普遍得多的形式——那形式事实上就是我们在前面举出过的 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数”。
下面我们就来确立这一点。
首先是： 第 2 卷的命题 14 确立了可以 “作一个 (面积) 等于给定长方形的正方形” (To construct a square equal to a given rectilineal figure)。 对我们的目的来说， “给定长方形” 的边长可选为 N 和 1， 则所作出的正方形的边长为 √N (这一步实际上给出了 √N 的存在性)。 如果这个正方形与单位正方形 (即边长为 1 的正方形) 的边的长度可公度——即如果 √N 与 1 可公度， 则由上述命题里的 (1) 可知这两个正方形的面积之比， 即 N:1， “等同于一个平方数与另一个平方数之比”， 即 N:1=p2:q2。 不失普遍性， 可假设 p2 和 q2 互素 (否则可以约去能 “共同量尽” p2 和 q2 的数——第 7 卷的命题 9 保证了约去之后的比值不变[注五])。 另一方面， 第 7 卷的命题 21 表明 “(一对) 互素的数是与它们有相同比值的数中最小的” (Numbers prime to one another are the least of those which have the same ratio with them)， 因此 p2 和 q2 互素意味着它们是能表示 p2:q2 的最小的数。 但与之相等的 N:1 显然也是能表示这一比值的最小的数 (因为 1 已经小得不能再小了)， 因此它们必须是同一对数， 即 N=p2， 1=q2。 这说明 N 必须是平方数。 为便利起见， 我们对这段推理中的两个关键的短句用了粗体字， 将之连起来就是： 如果 √N 与 1 可公度， N 必须是平方数 ——它是 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数” 的逆否命题， 从而与后者等价。
这样， 我们就从第 10 卷的命题 9 出发， 在《几何原本》有关数的逻辑框架内证明了 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数”， “√2 是无理数” 则是它的一个直接推论。 正是从这个意义上讲， 第 10 卷的命题 9 确实如哈代所说， 是比 “√2 是无理数” 普遍得多的形式。 当然， 跟 “所有非平方数 N 的平方根都是无理数” 这样的简明表述相比， 《几何原本》的相对晦涩也恰恰反衬出 “两千年的时光” 带来的进步——虽然只是其中极微不足道的部分。
本文以两个有关数的命题及证明为例来欣赏《几何原本》里的数， 至此就基本完成了[注六]。 最后不妨再补充两点： 一是《几何原本》的第 10 卷共有 115 个命题， 但某些版本包含了几个额外命题， 其中一个——通常被编排为命题 117 ——恰好是现代读者所熟悉的对 “√2 是无理数” 的证明。 不过包括这一命题在内的那几个额外命题已被公认为是后人添加的。 另一点原则上跟《几何原本》无关， 但或许有些读者会有一定的好奇， 那就是： 现代读者所熟悉的对 “√2 是无理数” 的证明出自何处？ 对此， 就书面叙述而言， 我所知道的最早的证明出自亚里士多德——他在比《几何原本》早了约半个世纪的《前分析篇》 (Prior Analytics) 的第 1 卷里阐述归谬法时， 作为例证写了这样一句话： “正方形的对角线与边不可公度， 因为若假设其可公度， 奇数会等于偶数” (the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate)。 当然， 除非事先知晓证明， 否则仅凭这么一句话， 怕是只会给人一团雾水， 而不足以起到例证作用。 这种轻描淡写的语气似乎意味着亚里士多德只是在陈述一件当时的哲学家已经熟悉的事实， 可惜就书面叙述而言， 似乎并无比他更早的论述流传到今天[注七]。
那些更早的论述的失传， 也衬托出有幸流传到今天的论述——包括《几何原本》及《几何原本》里的数——的珍贵性。
2026 年 1 月 12 日完稿
2026 年 1 月 13 日发布
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